Utilizando as fórmulas de derivação, calcule f^{\prime}(x) para as funções dadas:
f(x)=\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-2x+1}
Aqui o conteúdo é a regra do quociente. Para aplicar, vamos precisar de:
– a função numeradora g(x)=x^{2}+2x+1 e sua derivada g'(x) (regra da potência e soma),
– a função denominadora h(x)=x^{2}-2x+1 e sua derivada h'(x).

Passo 2

Calculemos g'(x) e h'(x) usando a regra da potência e da soma:
g(x)=x^{2}+2x+1 \quad\Longrightarrow\quad g'(x)=2x+2,
h(x)=x^{2}-2x+1 \quad\Longrightarrow\quad h'(x)=2x-2.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}} =\frac{(2x+2)(x^{2}-2x+1)\;-\;(x^{2}+2x+1)(2x-2)}{(x^{2}-2x+1)^{2}}.

Passo 4

Vamos expandir numerador e simplificar:
(2x+2)(x^{2}-2x+1) =2x^3-4x^2+2x+2x^2-4x+2 =2x^3-2x^2-2x+2,
(x^{2}+2x+1)(2x-2) =2x^3+4x^2+2x-2x^2-4x-2 =2x^3+2x^2-2x-2.
Subtraindo:
(2x^3-2x^2-2x+2)\;-\;(2x^3+2x^2-2x-2) =-4x^2+4.

Passo 5

Logo
f'(x) =\frac{-4x^2+4}{(x^{2}-2x+1)^{2}} =\frac{4(1-x^2)}{(x^{2}-2x+1)^{2}}.
Observando que x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}, podemos simplificar ainda mais:
f'(x) =\frac{4(1-x^2)}{(x-1)^{4}} =\frac{-4(x^2-1)}{(x-1)^{4}} =-4\;\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^{4}} =-4\;\frac{x+1}{(x-1)^{3}}.

Resposta

f'(x)=-4\,\frac{x+1}{(x-1)^{3}}.

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