Utilizando as fórmulas de derivação, calcule f^{\prime}(x) para as funções dadas:
f(x)=\frac{2 \operatorname{Cosec}(x)-1}{\operatorname{Sec}(x)+2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{2\csc(x)-1}{\operatorname{sec}(x)+2}.
O conteúdo principal é regra do quociente e as fórmulas de derivação de funções trigonométricas: \csc e \operatorname{sec}.

Passo 2

As fórmulas que vamos usar são:
\frac{d}{dx}\bigl[\csc(x)\bigr] = -\csc(x)\cot(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(x)\bigr] = \operatorname{sec}(x)\tan(x).

Passo 3

Definimos
u(x)=2\csc(x)-1, \qquad v(x)=\operatorname{sec}(x)+2
e aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 4

Calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x)=2\bigl(-\csc(x)\cot(x)\bigr)=-2\csc(x)\cot(x), \qquad v'(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).

Passo 5

Substituindo na regra do quociente,
f'(x) =\frac{\bigl(-2\csc(x)\cot(x)\bigr)\,(\operatorname{sec}(x)+2)\;-\;(2\csc(x)-1)\,\bigl(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\bigr)} {(\operatorname{sec}(x)+2)^2}.

Resposta

f'(x) =\frac{-2\csc(x)\cot(x)\,(\operatorname{sec}(x)+2)\;-\;(2\csc(x)-1)\,\operatorname{sec}(x)\tan(x)} {(\operatorname{sec}(x)+2)^2}.

Exercícios relacionados