Utilizando as fórmulas de derivação, calcule f^{\prime}(x) para as funções dadas:
f(x)=\left(x^{2}+2\right)(2 x-5)(3 x+2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(x^{2}+2\bigr)\,(2x-5)\,(3x+2).
O conteúdo aqui é a regra do produto para três fatores. Vamos precisar lembrar que, se u(x), v(x) e w(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl(u\,v\,w\bigr) = u'\,v\,w + u\,v'\,w + u\,v\,w'.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^{2}+2,\quad v(x)=2x-5,\quad w(x)=3x+2.
Então suas derivadas são
u'(x)=2x,\quad v'(x)=2,\quad w'(x)=3.

Passo 3

Aplicando a regra do produto para três funções, temos
f'(x) = u'(x)\,v(x)\,w(x) + u(x)\,v'(x)\,w(x) + u(x)\,v(x)\,w'(x).

Passo 4

Substituindo u, v, w e suas derivadas, vem
f'(x) = 2x\,(2x-5)\,(3x+2) + (x^{2}+2)\cdot 2\cdot(3x+2) + (x^{2}+2)\,(2x-5)\cdot 3.

Passo 5

Agora vamos expandir e somar termos semelhantes. Primeiro
2x\,(2x-5)\,(3x+2) =2x\,(6x^{2}-11x-10) =12x^{3}-22x^{2}-20x,
depois
2\,(x^{2}+2)\,(3x+2) =2\,(3x^{3}+2x^{2}+6x+4) =6x^{3}+4x^{2}+12x+8,
e finalmente
3\,(x^{2}+2)\,(2x-5) =3\,(2x^{3}-5x^{2}+4x-10) =6x^{3}-15x^{2}+12x-30.
Somando tudo:
f'(x) =(12+6+6)x^{3} +(-22+4-15)x^{2} +(-20+12+12)x +(0+8-30)
f'(x)=24x^{3}-33x^{2}+4x-22.

Resposta

f'(x)=24x^{3}-33x^{2}+4x-22.

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