Utilizando as fórmulas de derivação, calcule f^{\prime}(x) para as funções dadas:
f(x)=\left(2 x^{4}-1\right)\left(5 x^{3}+6 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(2x^{4} - 1\bigr)\,\bigl(5x^{3} + 6x\bigr).
O conteúdo aqui é a regra do produto, que diz que, se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 2

Identificamos as funções
u(x)=2x^{4}-1 \quad\text{e}\quad v(x)=5x^{3}+6x.
Calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x^{4}-1)=8x^{3},
v'(x)=\frac{d}{dx}(5x^{3}+6x)=15x^{2}+6.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) =8x^{3}\bigl(5x^{3}+6x\bigr) + \bigl(2x^{4}-1\bigr)\bigl(15x^{2}+6\bigr).

Passo 4

Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
8x^{3}\cdot5x^{3}=40x^{6}, \quad 8x^{3}\cdot6x=48x^{4},
2x^{4}\cdot15x^{2}=30x^{6}, \quad 2x^{4}\cdot6=12x^{4},
-1\cdot15x^{2}=-15x^{2}, \quad -1\cdot6=-6.
Somando tudo:
40x^{6}+30x^{6}=70x^{6}, \quad 48x^{4}+12x^{4}=60x^{4},
e mantemos os outros termos:
f'(x)=70x^{6}+60x^{4}-15x^{2}-6.

Resposta

f'(x)=70x^{6}+60x^{4}-15x^{2}-6.

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