Utilizando a Lei Universal da Gravitação, deduza a expressão do vetor posição de uma partícula de massa m nas seguintes situações:
Quando a partícula está afastada da superfície do planeta e se move em uma trajetória linear (sem influência significativa da órbita).

Passo 1

O enunciado pede a posição de uma partícula de massa m que se afasta (ou se aproxima) radialmente de um planeta, a grande distância de sua superfície, de modo que não há movimento orbital — só existe força de atração central dada pela Lei da Gravitação Universal.
Conteúdo: força central, equação de Newton em coordenada radial, integral de energia mecânica.

Passo 2

Escrevemos a Segunda Lei de Newton para a partícula sob a força gravitacional:
m,ddot r ;=; -,G,M,mr^2; r
onde M é a massa do planeta, G a constante gravitacional, r=| r| e r= r/r.
Cancelando m, obtemos o EDO vetorial
ddot r ;=; -,G,Mr^2, r,

Passo 3

Como o movimento é puramente radial, a direção de r é constante, digamos e. Então podemos escrever
r(t) ;=; r(t), e
e a EDO vetorial reduz-se à escalar
ddot r(t) ;=; -,G,M[,r(t),]^2

Passo 4

Para resolver essa EDO, multiplicamos ambos os lados por dot r e integramos em tempo, o que nos leva à conservação da energia mecânica:
dot r,ddot r =ddtl(tfrac12dot r^2r) Longrightarrow ddtl(tfrac12dot r^2r) =-,dot r,G,Mr^2 =ddtl(G,Mrr)
Logo,
12,dot r^2 ;=; G,Mr + C

Passo 5

Escolhendo condições iniciais em t=0:
r(0)=r0, dot r(0)=v0,
temos
12,v0^2 =G,Mr0+C Longrightarrow C=12,v0^2-G,Mr0
Portanto a “equação de energia” fica
12,dot r^2 =12,v0^2 -G,Mr0 +G,Mr Longrightarrow dot r =pm raizv0^2 +2,G,Ml(1r-1r0r)

Passo 6

Se quisermos a solução implícita para r(t), separamos e integramos:
t =integral0^tdt' =integralr0^r(t) dr'pmraizv0^2 +2,G,Ml(1r'-1r0r),
Isso dá uma relação t=t(r) que, em geral, só é invertida numericamente, salvo casos especiais (por exemplo v0=0, queda livre a partir do repouso, que admite forma fechada em termos de funções elementares ou elípticas).

Passo 7

Concluímos que o vetor posição é
boxed r(t) =r(t), e,
onde r(t) satisfaz
dot r =pm raizv0^2 +2,G,Ml(1r-1r0r) e t =integralr0^r(t) dr'dot r(r'),

Resposta

r(t)=r(t), e, com
dot r(t) =pmraiz,v0^2 +2,G,Ml(tfrac1r(t)-tfrac1r0r), e t =integralr0^r(t) dr'raizv0^2 +2,G,Ml(tfrac1r'-tfrac1r0r),

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