Utilizando a Lei Universal da Gravitação, deduza a expressão do vetor posição de uma partícula de massa m nas seguintes situações:
Quando a partícula está afastada da superfície do planeta e se move em uma trajetória linear (sem influência significativa da órbita).
Quando a partícula está afastada da superfície do planeta e se move em uma trajetória linear (sem influência significativa da órbita).
Passo 1
O enunciado pede a posição de uma partícula de massa
que se afasta (ou se aproxima) radialmente de um planeta, a grande distância de sua superfície, de modo que não há movimento orbital — só existe força de atração central dada pela Lei da Gravitação Universal.
Conteúdo: força central, equação de Newton em coordenada radial, integral de energia mecânica.
Conteúdo: força central, equação de Newton em coordenada radial, integral de energia mecânica.
Passo 2
Escrevemos a Segunda Lei de Newton para a partícula sob a força gravitacional:
onde
é a massa do planeta,
a constante gravitacional,
e
.
Cancelando , obtemos o EDO vetorial
Cancelando
Passo 3
Como o movimento é puramente radial, a direção de
é constante, digamos
. Então podemos escrever
e a EDO vetorial reduz-se à escalar
Passo 4
Para resolver essa EDO, multiplicamos ambos os lados por
e integramos em tempo, o que nos leva à conservação da energia mecânica:
Logo,
Passo 5
Escolhendo condições iniciais em
:
temos
Portanto a “equação de energia” fica
Passo 6
Se quisermos a solução implícita para
, separamos e integramos:
Isso dá uma relação
que, em geral, só é invertida numericamente, salvo casos especiais (por exemplo
, queda livre a partir do repouso, que admite forma fechada em termos de funções elementares ou elípticas).
Passo 7
Concluímos que o vetor posição é
onde
satisfaz