5 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - A que altura um satélite de comunicação geoestacionário ^1 deve ser colocado em órbita no plano do equador? Qual é o valor do campo gravitacional nos pontos dessa órbita?
^1 Um satélite geostacionário é aquele que permanece sempre sobre o mesmo ponto da linha do equador, acompanhando o movimento de rotação da Terra. Para isso, ele deve estar em uma órbita circular, equatorial e estável, com período de translação igual ao período de rotação da Terra. Nessa órbita, o satélite completa uma volta ao redor do planeta no mesmo tempo em que a Terra gira uma vez em torno de seu eixo, o que faz com que ele pareça estacionário no céu para um observador no solo. Devido a essa característica, satélites geostacionários são amplamente utilizados em telecomunicações, TV, internet via satélite e monitoramento meteorológico, pois garantem cobertura constante sobre uma mesma região da Terra.

Passo 1

O enunciado pede a altitude de um satélite geostacionário, isto é, a altura h acima da superfície da Terra em que o satélite faz uma órbita circular no plano do equador com período igual ao período de rotação da Terra. Vamos usar as leis de Mecânica Newtoniana: a força centrípeta deve ser fornecida pela gravitação, ou seja,
m,r,omega^2 ;=;G,M,mr^2
onde r é o raio da órbita (distância do centro da Terra ao satélite), omega é a velocidade angular da Terra, G é a constante gravitacional e M é a massa da Terra. Depois, obtendo r, calculamos a altura h = r - RE e o campo gravitacional em r:
g(r)=G,Mr^2

Passo 2

Escrevemos a condição de equilíbrio entre a força centrípeta e a força gravitacional:
m,r,omega^2 = G,M,mr^2
Cancelando m e isolando r, obtemos
r^3 = G,Momega^2

Passo 3

O período de rotação da Terra é o dia sideral, aproximadamente T = 23h 56min 4s = 86164 s. A velocidade angular é
omega = 2piT approx 2pi86164 s approx 7,292times10^-5 rad/s

Passo 4

Usamos G,M = 3,986004418times10^14,m^3/s^2. Logo
r^3 = 3,9860times10^14(7,292times10^-5)^2 approx 7,497times10^22,m^3,
portanto
r = l(7,497times10^22r)^1/3 approx 4,2164times10^7,m

Passo 5

A altura acima da superfície da Terra é
h = r - RE = 4,2164times10^7,m ;-; 6,371times10^6,m approx 3,5793times10^7,m approx 35,8times10^3,km

Passo 6

O campo gravitacional no raio r vale
g(r) = G,Mr^2 = 3,9860times10^14(4,2164times10^7)^2 approx 0,224;m/s^2

Resposta

Altitude do satélite geostacionário:
h approx 3,58times10^7,m;(35,8times10^3,km)
Valor do campo gravitacional nessa órbita:
g approx 0,224;m/s^2

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