5 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - A que altura um satélite de comunicação geoestacionário
deve ser colocado em órbita no plano do equador? Qual é o valor do campo gravitacional nos pontos dessa órbita?
Um satélite geostacionário é aquele que permanece sempre sobre o mesmo ponto da linha do equador, acompanhando o movimento de rotação da Terra. Para isso, ele deve estar em uma órbita circular, equatorial e estável, com período de translação igual ao período de rotação da Terra. Nessa órbita, o satélite completa uma volta ao redor do planeta no mesmo tempo em que a Terra gira uma vez em torno de seu eixo, o que faz com que ele pareça estacionário no céu para um observador no solo. Devido a essa característica, satélites geostacionários são amplamente utilizados em telecomunicações, TV, internet via satélite e monitoramento meteorológico, pois garantem cobertura constante sobre uma mesma região da Terra.
Passo 1
O enunciado pede a altitude de um satélite geostacionário, isto é, a altura
acima da superfície da Terra em que o satélite faz uma órbita circular no plano do equador com período igual ao período de rotação da Terra. Vamos usar as leis de Mecânica Newtoniana: a força centrípeta deve ser fornecida pela gravitação, ou seja,
onde
é o raio da órbita (distância do centro da Terra ao satélite),
é a velocidade angular da Terra,
é a constante gravitacional e
é a massa da Terra. Depois, obtendo
, calculamos a altura
e o campo gravitacional em
:
Passo 2
Escrevemos a condição de equilíbrio entre a força centrípeta e a força gravitacional:
Cancelando
e isolando
, obtemos
Passo 3
O período de rotação da Terra é o dia sideral, aproximadamente
. A velocidade angular é
Passo 4
Usamos
. Logo
portanto
Passo 5
A altura acima da superfície da Terra é
Passo 6
O campo gravitacional no raio
vale
Resposta
Altitude do satélite geostacionário:
Valor do campo gravitacional nessa órbita: