Utilizando a linearização, prove que:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede pra usar a linearização para provar algumas aproximações quando
tende a zero. A matéria aqui é cálculo, especificamente a parte de linearização ou aproximação linear. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como aproximar funções usando sua derivada no ponto em questão, que nesse caso é
.
Passo 2
a)
, quando
Passo 2.1: Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização de uma função. A linearização de uma função
perto de um ponto
é dada por:
Aqui, vamos usar
.
Passo 2.2: Seja
. Vamos calcular
e
.
- Calculando
:
- Calculando
:
Então,
Passo 2.3: Agora, aplicando a fórmula da linearização:
Assim, provamos que
quando
tende a zero.
Passo 3
b)
, quando
Passo 3.1: Vamos usar a linearização novamente. Seja
.
Passo 3.2: Calculando
e
:
Passo 3.3: Aplicando a linearização:
Portanto,
quando
tende a zero.
Passo 4
c)
, quando
Passo 4.1: Mais uma vez, vamos usar a linearização. Seja
.
Passo 4.2: Calculando
e
:
Passo 4.3: Aplicando a linearização:
Assim, mostramos que
quando
tende a zero.
Resposta
Utilizando a linearização, provamos que:
a) ,
b) ,
c) ,
quando tende a zero.
a)
b)
c)
quando