Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x y|x y|

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de não existe. Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite é consistente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa função basicamente retorna se for positivo e se for negativo, desde que .

Passo 3

Para investigar o limite, vamos abordar por diferentes caminhos e verificar os valores que a função assume. Se obtivermos limites diferentes por caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos primeiro considerar o caminho onde f(x, x) = x cdot x|x cdot x| = x^2|x^2| = x^2x^2 = 1 . Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo caminho , o limite é .

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho onde f(x, -x) = x cdot (-x)|x cdot (-x)| = -x^2| -x^2 | = -x^2x^2 = -1 . Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo caminho , o limite é .

Passo 6

Observamos que os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido: pelo caminho e pelo caminho .

Resposta

Como os limites por caminhos diferentes são distintos, concluímos que não existe.

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