Utilizando os multiplicadores de Lagrange encontre seus pontos críticos e classifique os valores de máximo e míno da função abaixo que se encontra com as seguintes retrições dadas:
f(x, y, z)=x y z ; x^2+2 y^2+3 z^2=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar os multiplicadores de Lagrange, que são uma técnica para encontrar os pontos máximos e mínimos de uma função sujeita a certas restrições. Aqui, a função que queremos otimizar é $ f(x, y, z) = xyz $ e a restrição é $ x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 6 $. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo usando a metodologia dos Lagrangeanos.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar o Lagrangeano, que combina a função que queremos otimizar com a restrição usando um multiplicador, que geralmente chamamos de $ \lambda $. Então, nosso Lagrangeano fica assim:
lambda

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais do Lagrangeano em relação a cada variável ( x, y, z) e do multiplicador ( lambda), e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver.
Primeira derivada parcial em relação a x:
partial Lpartial x = yz - 2lambda x = 0 Rightarrow yz = 2lambda x (1)

Passo 4

Derivada parcial em relação a y:
partial Lpartial y = xz - 4lambda y = 0 Rightarrow xz = 4lambda y (2)

Passo 5

Derivada parcial em relação a z:
partial Lpartial z = xy - 6lambda z = 0 Rightarrow xy = 6lambda z (3)

Passo 6

Derivada parcial em relação a lambda, que simplesmente nos dá de volta a restrição original:
partial Lpartial lambda = -(x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 6) = 0 Rightarrow x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6 (4)

Passo 7

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, vamos relacionar as equações (1), (2) e (3) para eliminar lambda.
Dividindo a equação (1) pela equação (2):
yzxz = 2lambda x4lambda y Rightarrow yx = 2x4y Rightarrow y^2 = x^22 Rightarrow y = pm xraiz2

Passo 8

Agora, dividindo a equação (2) pela equação (3):
xzxy = 4lambda y6lambda z Rightarrow zy = 4y6z Rightarrow z^2 = 2y^23 Rightarrow z = pm raiz23 y

Passo 9

Substituindo $ y = \pm \frac{x}{\sqrt{2}} $ na expressão para $ z $:
y = pm xraiz2

Passo 10

Agora, temos $ y = \pm \frac{x}{\sqrt{2}} $ e $ z = \pm \frac{x}{\sqrt{3}} $. Vamos substituir essas expressões na restrição (4):
y = pm xraiz2
z = pm xraiz3
x^2 + 2( xraiz2 )^2 + 3( xraiz3 )^2 = 6

Passo 11

Agora que sabemos $ x = \pm \sqrt{2} $, vamos encontrar $ y $ e $ z $:
x = pm raiz2
y

Passo 12

Então, os pontos críticos são todas as combinações possíveis de sinais:
(raiz2, 1, raiz63),, (raiz2, 1, -raiz63),, (raiz2, -1, raiz63),, (raiz2, -1, -raiz63),
(-raiz2, 1, raiz63),, (-raiz2, 1, -raiz63),, (-raiz2, -1, raiz63),, (-raiz2, -1, -raiz63)

Passo 13

Para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, vamos observar os valores de $ f(x, y, z) = xyz $ em cada ponto:
Calculando $ f(\sqrt{2}, 1, \frac{\sqrt{6}}{3}) $:
f(x, y, z) = xyz
De maneira similar, os outros pontos terão valores de $ f $ que são $ \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

Resposta

Os pontos críticos são $ (\pm \sqrt{2}, \pm 1, \pm \frac{\sqrt{6}}{3}) $ e $ f(x, y, z) $ atinge os valores máximos de $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $ e mínimos de $ -\frac{2\sqrt{3}}{3} $ nesses pontos.

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