Utilizando os multiplicadores de Lagrange encontre seus pontos críticos e classifique os valores de máximo e míno da função abaixo que se encontra com as seguintes retrições dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar os multiplicadores de Lagrange, que são uma técnica para encontrar os pontos máximos e mínimos de uma função sujeita a certas restrições. Aqui, a função que queremos otimizar é $ f(x, y, z) = xyz $ e a restrição é $ x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 6 $. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo usando a metodologia dos Lagrangeanos.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar o Lagrangeano, que combina a função que queremos otimizar com a restrição usando um multiplicador, que geralmente chamamos de $ \lambda $. Então, nosso Lagrangeano fica assim:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais do Lagrangeano em relação a cada variável (
,
,
) e do multiplicador (
), e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver.
Primeira derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Derivada parcial em relação a
, que simplesmente nos dá de volta a restrição original:
Passo 7
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, vamos relacionar as equações (1), (2) e (3) para eliminar
.
Dividindo a equação (1) pela equação (2):
Passo 8
Agora, dividindo a equação (2) pela equação (3):
Passo 9
Substituindo $ y = \pm \frac{x}{\sqrt{2}} $ na expressão para $ z $:
Passo 10
Agora, temos $ y = \pm \frac{x}{\sqrt{2}} $ e $ z = \pm \frac{x}{\sqrt{3}} $. Vamos substituir essas expressões na restrição (4):
Passo 11
Agora que sabemos $ x = \pm \sqrt{2} $, vamos encontrar $ y $ e $ z $:
Passo 12
Então, os pontos críticos são todas as combinações possíveis de sinais:
Passo 13
Para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, vamos observar os valores de $ f(x, y, z) = xyz $ em cada ponto:
Calculando $ f(\sqrt{2}, 1, \frac{\sqrt{6}}{3}) $:
De maneira similar, os outros pontos terão valores de $ f $ que são $ \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} $.
Resposta
Os pontos críticos são $ (\pm \sqrt{2}, \pm 1, \pm \frac{\sqrt{6}}{3}) $ e $ f(x, y, z) $ atinge os valores máximos de $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $ e mínimos de $ -\frac{2\sqrt{3}}{3} $ nesses pontos.