Utilizando notação indicial mostre que:
(A times B) times(C times D)=B(A cdot C times D)-A(B cdot C times D)

Passo 1

O que queremos mostrar é a identidade de produto vetorial duplo
(vec A times vec B)times(vec C times vec D) =vec B,l(vec Acdot(vec Ctimesvec D)r) -vec A,l(vec Bcdot(vec Ctimesvec D)r)
Para isso vamos usar notação indicial e a propriedade de contração do símbolo de Levi-Civita. Primeiro derivamos a fórmula geral
(vec utimesvec v)timesvec w =vec v,(vec ucdotvec w)-vec u,(vec vcdotvec w)
e depois aplicamos a vec u=vec A, vec v=vec B, vec w=vec Ctimesvec D.

Passo 2

Escrevemos em componentes, usando varepsilonijk para o produto vetorial:
l((vec utimesvec v)timesvec wr)i =varepsiloni p q,(vec utimesvec v)p,wq =varepsiloni p q,l(varepsilonpalphabeta,ualpha,vbetar),wq
e portanto
(vec utimesvec v)timesvec w ;longrightarrow; Xi=varepsiloni p q,varepsilonpalphabeta,ualpha,vbeta,wq

Passo 3

Usamos a identidade de contração
varepsiloni p q,varepsilonpalphabeta =de<aialpha,de<aqbeta -de<aibeta,de<aqalpha
Substituindo em Xi vem
Xi =l(de<aialphade<aqbeta-de<aibetade<aqalphar) ,ualpha,vbeta,wq =ui,vbeta,wbeta -vi,ualpha,walpha
ou seja
(vec utimesvec v)timesvec w =vec u,( vec vcdotvec w ) -vec v,( vec ucdotvec w ) ;equiv; vec v,(vec ucdotvec w)-vec u,(vec vcdotvec w),
onde apenas trocamos a ordem subtraída para ficar no formato mais comum.

Passo 4

Agora escolhemos
vec u=vec A, vec v=vec B e vec w=vec Ctimesvec D.
Então pelo resultado acima
(vec Atimesvec B)times(vec Ctimesvec D) =vec Bl(vec Acdot(vec Ctimesvec D)r) -vec Al(vec Bcdot(vec Ctimesvec D)r),
exatamente a identidade pedida.

Resposta

(A times B) times (C times D) =B,(A cdot (Ctimes D)) -A,(B cdot (Ctimes D))

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