Utilizando notação indicial mostre que:
(A times B) cdot(C times D)=(A cdot C)(B cdot D)-(A cdot D)(B cdot C)

Passo 1

O enunciado pede para provar, em notação indicial (com soma de Einstein), que
(Atimes B)cdot(Ctimes D) =(Acdot C)(Bcdot D) -(Acdot D)(Bcdot C)
Para isso vamos usar o símbolo de Levi-Civita varepsilonijk para o produto vetorial e a contracção de dois varepsilon em deltas de Kronecker de<aij.

Passo 2

Escrevemos cada componente do produto escalar entre vetoriais cruzados em índice livre i:
(Atimes B)cdot(Ctimes D) =(Atimes B)i,(Ctimes D)i
Pelo definição por Levi-Civita temos
(Atimes B)i=varepsilonijkAjBk, (Ctimes D)i=varepsilonilmClDm,
logo
(Atimes B)cdot(Ctimes D) =varepsilonijk,varepsilonilm,Aj,Bk,Cl,Dm

Passo 3

Aplicamos agora a identidade de contracção de dois símbolos de Levi-Civita em três dimensões:
varepsilonijk,varepsilonilm =de<ajl,de<akm-de<ajm,de<akl
Isto transforma o produto dos varepsilon em soma de produtos de deltas.

Passo 4

Substituindo essa identidade na expressão do passo anterior obtemos
(Atimes B)cdot(Ctimes D) =(de<ajl,de<akm-de<ajm,de<akl),Aj,Bk,Cl,Dm

Passo 5

Usamos as propriedades do delta de Kronecker para fazer as somas sobre índices repetidos:
de<ajl,de<akm,AjBkClDm =AjCj,BkDk =(Acdot C)(Bcdot D),
de<ajm,de<akl,AjBkClDm =AjDj,BkCk =(Acdot D)(Bcdot C)
Subtraindo essas duas parcelas, concluímos
(Atimes B)cdot(Ctimes D) =(Acdot C)(Bcdot D) -(Acdot D)(Bcdot C)

Resposta

(Atimes B)cdot(Ctimes D) =(Acdot C)(Bcdot D) -(Acdot D)(Bcdot C)

Exercícios relacionados