Utilizando os pares da transformada de Laplace da Tabela 2.1 e os teoremas da transformada de Laplace da Tabela 2.2, deduza as transformadas de Laplace para as seguintes funções do tempo:
t^{3} u(t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de t^{3}u(t). Informações dadas/implícitas: a função de tempo é t^{3} multiplicada pela função degrau unitário u(t) (ou seja, efetivamente estamos considerando t^{3} para t\ge 0); podemos usar pares da tabela (por exemplo \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}) e os teoremas da transformada de Laplace (em especial o que relaciona multiplicação por t^{n} com derivadas em s). Não há outras perguntas no enunciado.

Passo 2

Recordando um par básico da tabela: a transformada de Laplace da função constante 1 (para t\ge 0) é
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},
onde \mathcal{L}\{\cdot\} denota a transformada de Laplace e s é a variável complexa da transformada. Esse par será a base do que faremos, porque t^{3}u(t) é t^{3} multiplicado por 1.

Passo 3

Vou usar o teorema que liga multiplicação por potências de t a derivadas em s. O teorema diz:
\mathcal{L}\{t^{n} f(t)\}=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e n é um inteiro não negativo. Explicando por que isso é verdade (de forma direta e didática): comece com
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Diferenciando em s e trocando derivada e integral (justificação técnica à parte — na prática das provas isso é aceito para funções de crescimento adequado), obtemos
\frac{d}{ds}F(s)=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-st}\bigr)f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}f(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t f(t)\}.
Aplicando essa operação n vezes chega-se à fórmula geral acima. Aqui cada símbolo significa: t é a variável de tempo, s é a variável da transformada, f(t) é a função original e F(s) sua transformada.

Passo 4

No nosso caso, f(t)=1 e F(s)=\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Queremos \mathcal{L}\{t^{3}\cdot 1\}. Pelo teorema com n=3,
\mathcal{L}\{t^{3}\} = (-1)^{3}\frac{d^{3}}{ds^{3}}\left(\frac{1}{s}\right) = -\frac{d^{3}}{ds^{3}}\left(\frac{1}{s}\right).
Agora vamos calcular essas derivadas passo a passo.

Passo 5

Calculemos as derivadas de F(s)=\dfrac{1}{s}=s^{-1} uma a uma:
\frac{d}{ds}\left(s^{-1}\right) = -1\cdot s^{-2} = -s^{-2}.
\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(s^{-1}\right) = \frac{d}{ds}\left(-s^{-2}\right) = -(-2)s^{-3}=2s^{-3}.
\frac{d^{3}}{ds^{3}}\left(s^{-1}\right) = \frac{d}{ds}\left(2s^{-3}\right) = 2(-3)s^{-4} = -6s^{-4}.
Agora substituímos na fórmula do Passo 4:
\mathcal{L}\{t^{3}\} = -\left(-6s^{-4}\right)=6s^{-4}.

Passo 6

Interpretação simples e checagem: a regra geral para potências inteiras não negativas é
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Para n=3 isso dá \dfrac{3!}{s^{4}}=\dfrac{6}{s^{4}}, que coincide com o resultado obtido pelas derivadas, então está consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{6}{s^{4}}

Exercícios relacionados