Utilizando os pares da transformada de Laplace da Tabela 2.1 e os teoremas da transformada de Laplace da Tabela 2.2, deduza as transformadas de Laplace para as seguintes funções do tempo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de
. Informações dadas/implícitas: a função de tempo é
multiplicada pela função degrau unitário
(ou seja, efetivamente estamos considerando
para
); podemos usar pares da tabela (por exemplo
) e os teoremas da transformada de Laplace (em especial o que relaciona multiplicação por
com derivadas em
). Não há outras perguntas no enunciado.
Passo 2
Recordando um par básico da tabela: a transformada de Laplace da função constante
(para
) é
onde
denota a transformada de Laplace e
é a variável complexa da transformada. Esse par será a base do que faremos, porque
é
multiplicado por
.
Passo 3
Vou usar o teorema que liga multiplicação por potências de
a derivadas em
. O teorema diz:
onde
e
é um inteiro não negativo. Explicando por que isso é verdade (de forma direta e didática): comece com
Diferenciando em
e trocando derivada e integral (justificação técnica à parte — na prática das provas isso é aceito para funções de crescimento adequado), obtemos
Aplicando essa operação
vezes chega-se à fórmula geral acima. Aqui cada símbolo significa:
é a variável de tempo,
é a variável da transformada,
é a função original e
sua transformada.
Passo 4
No nosso caso,
e
. Queremos
. Pelo teorema com
,
Agora vamos calcular essas derivadas passo a passo.
Passo 5
Calculemos as derivadas de
uma a uma:
Agora substituímos na fórmula do Passo 4:
Passo 6
Interpretação simples e checagem: a regra geral para potências inteiras não negativas é
Para
isso dá
, que coincide com o resultado obtido pelas derivadas, então está consistente.