Utilizando os pares da transformada de Laplace da Tabela 2.1 e os teoremas da transformada de Laplace da Tabela 2.2, deduza as transformadas de Laplace para as seguintes funções do tempo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace da função
. Informações dadas e condições iniciais:
- A função no tempo é
. -
é o degrau unitário (garante que a integral da transformada vai de a ). - Os parâmetros
e são constantes reais (não precisamos de valores numéricos). - Devemos usar pares e teoremas usuais da transformada de Laplace (Tabela 2.1 e Teorema de deslocamento em frequência da Tabela 2.2).
A partir daqui vamos calcular passo a passo a transformada e explicar cada ferramenta usada.
Passo 2
Definição básica e ideia do método. A transformada de Laplace de uma função
é
quando a integral converge. Aqui é conveniente primeiro lembrar/achar a transformada de
e depois aplicar o teorema de deslocamento em frequência (multiplicação por
). Também é útil lembrar que
só confirma que o limite inferior da integral é
.
Passo 3
Cálculo de
. Usamos a representação exponencial (identidade de Euler) para facilitar a integral:
Então
As duas integrais são do tipo
, que, para
, valem
Substituindo:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida em termos reais. Calculamos o numerador comum:
Cancelando, obtemos a forma clássica:
Aqui
é a variável da transformada e a condição
garante convergência da integral.
Passo 5
Apresentação e prova simples do teorema de deslocamento em frequência (útil para o fator
). O teorema diz:
se , então
se
Prova direta pela definição:
A verificação de região de convergência é feita trocando
por
na condição de
.
Passo 6
Aplicar o teorema ao nosso caso. Já temos
para
. Pelo teorema de deslocamento em frequência,
Quanto à região de convergência, substituindo
na condição
obtemos
, ou seja
.
Passo 7
Dica prática para prova: memorize a forma sem o
,
e saiba aplicar rapidamente o deslocamento
quando aparecer
. Se precisar verificar rapidamente, use a prova por substituição na definição (Passo 5).