Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro: sen(0.1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o polinômio de Taylor de ordem 2 para calcular uma aproximação de e também avaliar o erro dessa aproximação. Isso está relacionado ao estudo de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções usando polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma forma de aproximar funções suaves (como o seno) perto de um ponto específico, usando uma soma de termos que envolvem derivadas da função nesse ponto. O polinômio de ordem 2 inclui termos até a segunda derivada.

Passo 3

Para a função , vamos expandir o polinômio de Taylor em torno de (também chamado de série de Maclaurin). As derivadas de são:

Passo 4

Avaliar essas derivadas em :

Passo 5

Agora, montamos o polinômio de Taylor de ordem 2:
Substituindo os valores:

Passo 6

Então, a aproximação de usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é simplesmente .

Passo 7

Agora, vamos calcular usando essa aproximação:

Passo 8

Para avaliar o erro dessa aproximação, usamos o termo de erro do polinômio de Taylor. Para a função , o erro é dado por:
onde está entre 0 e 0,1. A terceira derivada de é .

Passo 9

Como , podemos estimar o erro máximo:

Resposta

Aproximando pelo polinômio de Taylor de ordem 2, temos . O erro dessa aproximação é, no máximo, aproximadamente .

Exercícios relacionados