Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o polinômio de Taylor de ordem 2 para calcular uma aproximação de
e também avaliar o erro dessa aproximação. Isso está relacionado ao estudo de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções usando polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma forma de aproximar funções suaves (como o seno) perto de um ponto específico, usando uma soma de termos que envolvem derivadas da função nesse ponto. O polinômio de ordem 2 inclui termos até a segunda derivada.
Passo 3
Para a função
, vamos expandir o polinômio de Taylor em torno de
(também chamado de série de Maclaurin). As derivadas de
são:
Passo 4
Avaliar essas derivadas em
:
Passo 5
Agora, montamos o polinômio de Taylor de ordem 2:
Substituindo os valores:
Passo 6
Então, a aproximação de
usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é simplesmente
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
usando essa aproximação:
Passo 8
Para avaliar o erro dessa aproximação, usamos o termo de erro do polinômio de Taylor. Para a função
, o erro
é dado por:
onde
está entre 0 e 0,1. A terceira derivada de
é
.
Passo 9
Como
, podemos estimar o erro máximo:
Resposta
Aproximando
pelo polinômio de Taylor de ordem 2, temos
. O erro dessa aproximação é, no máximo, aproximadamente
.