Utilizando o primeiro limite fundamental, determine:
lim x 0 1-cos xsen(2 x)

Passo 1

Beleza, o exercício tá me pedindo pra calcular o limite usando o primeiro limite fundamental. Isso envolve limites e funções trigonométricas, então vamos precisar de algumas identidades trigonométricas e entender bem o que acontece quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador, que é 1 - cos x = 2 sin^2(x2) . Tem uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar isso:
Isso vai facilitar nossa vida na hora de resolver o limite.

Passo 3

Substituindo essa identidade na expressão do limite, ficamos com:
limx 0 2 sin^2(x2)sin(2x)
Agora, vamos simplificar mais um pouco.

Passo 4

No denominador, temos sin(2x) = 2 sin x cos x . Outra identidade trigonométrica útil é:
limx 0 2 sin^2(x2)2 sin x cos x = limx 0 sin^2(x2)sin x cos x
Substituindo isso, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos reescrever limx 0 (sin(x2))^2sin x cos x como , e a expressão fica:

Passo 6

Para aplicar o primeiro limite fundamental (sin(x2))^2sin x cos x = (sin(x2)x2)^2 cdot x^24 sin x cos x , precisamos ajustar a expressão. Vamos multiplicar e dividir pelo mesmo fator para facilitar:

Passo 7

Agora, aplicamos o primeiro limite fundamental:
limx 0 (sin(x2)x2)^2 = 1^2 = 1
E sabemos que limx 0 x^24 sin x cos x = 04 cdot 1 cdot 1 = 0 e 1 cdot 0 = 0 , então:
Multiplicando tudo:

Resposta

O limite é igual a .

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