h) Utilizando o princípio variacional, como desenvolvido na aula 10 , mostre que a equação quadrática para
a ser resolvida é:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos utilizar o princípio variacional, que é uma técnica poderosa na física para aproximar os valores de energia de sistemas quânticos. O objetivo é mostrar que, ao aplicar esse princípio, chegamos a uma equação quadrática para
, que é a energia a ser resolvida. Para isso, vamos precisar das expectativas dos operadores de Hamiltoniano nos estados
e
, do fator de sobreposição
, e do parâmetro
.
Passo 2
Vamos começar assumindo que nosso estado variacional
é uma combinação linear de dois estados base
e
:
onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 3
O princípio variacional nos diz que a energia
é dada por:
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
onde
é o fator de sobreposição e
.
Passo 4
Para encontrar os coeficientes
e
que minimizam a energia, usamos as condições de otimização. Após algumas manipulações algébricas e eliminando as variáveis
e
, chegamos a uma equação quadrática em
:
Essa equação resulta das condições de normalização e otimização aplicadas ao princípio variacional.
Resposta
A equação quadrática para
a ser resolvida, utilizando o princípio variacional, é: