h) Utilizando o princípio variacional, como desenvolvido na aula 10 , mostre que a equação quadrática para E a ser resolvida é:
(1-S^2) E^2+[2 beta S-(lang<=Hrang<=1+lang<=Hrang<=2)] E+(lang<=Hrang<=1lang<=Hrang<=2-beta^2)=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos utilizar o princípio variacional, que é uma técnica poderosa na física para aproximar os valores de energia de sistemas quânticos. O objetivo é mostrar que, ao aplicar esse princípio, chegamos a uma equação quadrática para , que é a energia a ser resolvida. Para isso, vamos precisar das expectativas dos operadores de Hamiltoniano nos estados e , do fator de sobreposição , e do parâmetro .

Passo 2

Vamos começar assumindo que nosso estado variacional |psirang<= = c1 |psi1rang<= + c2 |psi2rang<= é uma combinação linear de dois estados base e :
onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 3

O princípio variacional nos diz que a energia E = lang<=psi|H|psirang<=lang<=psi|psirang<= é dada por:
lang<=psi|H|psirang<= = c1^2 lang<=Hrang<=1 + c2^2 lang<=Hrang<=2 + 2c1 c2 beta
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
lang<=psi|psirang<= = 1 + 2S c1 c2
onde é o fator de sobreposição e .

Passo 4

Para encontrar os coeficientes (1 - S^2) E^2 + [2 beta S - (lang<=Hrang<=1 + lang<=Hrang<=2)] E + (lang<=Hrang<=1 lang<=Hrang<=2 - beta^2) = 0 e que minimizam a energia, usamos as condições de otimização. Após algumas manipulações algébricas e eliminando as variáveis e , chegamos a uma equação quadrática em :
Essa equação resulta das condições de normalização e otimização aplicadas ao princípio variacional.

Resposta

A equação quadrática para (1 - S^2) E^2 + [2 beta S - (lang<=Hrang<=1 + lang<=Hrang<=2)] E + (lang<=Hrang<=1 lang<=Hrang<=2 - beta^2) = 0 a ser resolvida, utilizando o princípio variacional, é:

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