Utilizando as propriedades dos limites, calcule, caso existam, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{3}-2}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to1}\frac{2x^{3}-2}{x-1}.
O conteúdo envolvido é limite de quociente de polinômios e usaremos fatoração para eliminar a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Observe que o numerador pode ser fatorado:
2x^{3}-2 = 2\bigl(x^{3}-1\bigr).
Usamos a identidade de soma/diferença de cubos:
x^{3}-1 = (x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr).

Passo 3

Substituindo a fatoração no limite, temos
\frac{2x^{3}-2}{x-1} = \frac{2\,(x-1)\,(x^{2}+x+1)}{x-1}.
Como x\neq1 no processo do limite, podemos cancelar o fator (x-1), obtendo
2\,(x^{2}+x+1).

Passo 4

O limite de uma função polinomial (ou produto de poliniais) é simplesmente o valor da expressão ao se substituir x pelo ponto de limitação, por continuidade. Logo,
\lim_{x\to1}2\,(x^{2}+x+1) = 2\bigl(1^{2}+1+1\bigr) = 2\cdot3 =6.

Resposta

\lim_{x\to1}\frac{2x^{3}-2}{x-1}=6.

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