Utilizando as propriedades dos limites, calcule, caso existam, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow \sqrt[3]{5}} \frac{x^{3}-5}{x-\sqrt[3]{5}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to \sqrt[3]{5}} \frac{x^{3}-5}{x-\sqrt[3]{5}}
usando propriedades de limites e fatoração. Vamos usar a fatoração da diferença de cubos
a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}).

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=\sqrt[3]{5}:
o numerador fica (\sqrt[3]{5})^{3}-5=5-5=0 e o denominador \sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{5}=0. Logo é forma 0/0.

Passo 3

Seja c=\sqrt[3]{5}. Fatoramos o numerador como diferença de cubos:
x^{3}-5 = x^{3}-c^{3}=(x-c)\,(x^{2}+x\,c+c^{2}).

Passo 4

Dividindo numerador e denominador por (x-c), a expressão do limite fica
\frac{x^{3}-5}{x-c} = \frac{(x-c)(x^{2}+x\,c+c^{2})}{x-c} = x^{2}+x\,c+c^{2}.

Passo 5

Agora aplicamos o limite x\to c:
\lim_{x\to c}(x^{2}+x\,c+c^{2}) = c^{2}+c\cdot c+c^{2} = 3\,c^{2} = 3\,(\sqrt[3]{5})^{2}.

Resposta

3\,(\sqrt[3]{5})^{2}

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