Utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos, calcule o valor numérico exato das expressões abaixo sem recorrer à calculadora:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, sem calculadora, o valor numérico exato da expressão
Informações dadas (explícitas na expressão):
- Primeiro termo: base
, argumento . - Segundo termo: base
, argumento .
A tarefa é simplificar cada logaritmo usando propriedades operatórias e obter o número exato da diferença.
Passo 2
Relembrando a definição e a propriedade que vamos usar (explicado passo a passo):
- Por definição de logaritmo,
significa que . Aqui: -
é a base do logaritmo; -
é o argumento (o número de que se toma o logaritmo); -
é o resultado (expoente) tal que .
-
- Propriedade direta que usaremos: se o argumento é uma potência da própria base, isto é, se
, então - Outra observação útil: se
então e portanto .
Passo 3
Calcular
passo a passo:
- Escrever
como potência de . Observa-se que . - Aplicando a propriedade
:
Explicação curta: o logaritmo na base
de
é simplesmente o expoente
.
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Primeiro reescrever
como potência de . Como , tem-se - Aplicando a mesma propriedade:
Explicação curta: o logaritmo na base
de
é o expoente
.
Passo 5
Agora combinar os resultados:
- Substituindo os valores encontrados:
- Fazer a conta:
Breve verificação mental: os dois logaritmos são simétricos (um vale
e o outro
), então a diferença é
.
Passo 6
Dicas rápidas e exemplos para consolidar a ideia (úteis na prova):
- Sempre que o argumento for uma potência exata da base, o logaritmo é o expoente. Ex.:
. - Se o argumento for o inverso de uma potência, usar o expoente negativo. Ex.:
.
Força aí — você já tem a técnica para muitos exercícios parecidos!
Resposta
6