Utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos, calcule o valor numérico exato das expressões abaixo sem recorrer à calculadora:
\quad \log _{10}(1000)-\log _{2}\left(\frac{1}{8}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular, sem calculadora, o valor numérico exato da expressão
\log_{10}(1000)-\log_{2}\!\left(\frac{1}{8}\right).
Informações dadas (explícitas na expressão):
  • Primeiro termo: base 10, argumento 1000.
  • Segundo termo: base 2, argumento \dfrac{1}{8}.
    A tarefa é simplificar cada logaritmo usando propriedades operatórias e obter o número exato da diferença.

Passo 2

Relembrando a definição e a propriedade que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Por definição de logaritmo, \log_{b}(a)=c significa que b^{c}=a. Aqui:
    • b é a base do logaritmo;
    • a é o argumento (o número de que se toma o logaritmo);
    • c é o resultado (expoente) tal que b^{c}=a.
  • Propriedade direta que usaremos: se o argumento é uma potência da própria base, isto é, se a=b^{k}, então \log_{b}(b^{k})=k.
  • Outra observação útil: se a=\dfrac{1}{b^{k}} então a=b^{-k} e portanto \log_{b}(a)=-k.

Passo 3

Calcular \log_{10}(1000) passo a passo:
  • Escrever 1000 como potência de 10. Observa-se que 1000=10^{3}.
  • Aplicando a propriedade \log_{b}(b^{k})=k: \log_{10}(1000)=\log_{10}\bigl(10^{3}\bigr)=3.
Explicação curta: o logaritmo na base 10 de 10^{3} é simplesmente o expoente 3.

Passo 4

Calcular \log_{2}\!\left(\dfrac{1}{8}\right) passo a passo:
  • Primeiro reescrever \dfrac{1}{8} como potência de 2. Como 8=2^{3}, tem-se \frac{1}{8} = 2^{-3}.
  • Aplicando a mesma propriedade: \log_{2}\!\left(\frac{1}{8}\right)=\log_{2}\bigl(2^{-3}\bigr)=-3.
Explicação curta: o logaritmo na base 2 de 2^{-3} é o expoente -3.

Passo 5

Agora combinar os resultados:
  • Substituindo os valores encontrados: \log_{10}(1000)-\log_{2}\!\left(\frac{1}{8}\right)=3-(-3).
  • Fazer a conta: 3-(-3)=3+3=6.
Breve verificação mental: os dois logaritmos são simétricos (um vale 3 e o outro -3), então a diferença é 6.

Passo 6

Dicas rápidas e exemplos para consolidar a ideia (úteis na prova):
  • Sempre que o argumento for uma potência exata da base, o logaritmo é o expoente. Ex.: \log_{5}(125)=\log_{5}(5^{3})=3.
  • Se o argumento for o inverso de uma potência, usar o expoente negativo. Ex.: \log_{3}\!\left(\dfrac{1}{9}\right)=\log_{3}(3^{-2})=-2.
    Força aí — você já tem a técnica para muitos exercícios parecidos!

Resposta

6

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