Um sistema de energia solar fotovoltaica recém-instalado no telhado de uma residência possui uma estimativa inicial de produção de \mathbf{8 0 0} kWh mensais. Devido à degradação natural dos painéis, a produção mensal \mathbf{P}(\mathbf{t}) cai exponencialmente ao longo dos anos \mathbf{t}, modelada pela função P(t)=800 \cdot(0,95)^{t}.
a) Qual é a produção mensal no instante da instalação ( t=0 )?
b) Qual será a produção mensal estimada ao final de 2 anos de operação?
c) Qual será a produção estimada ao final de 4 anos?
d) Esta função representa um crescimento ou um decaimento exponencial? Qual elemento da equação o comprova?
e) Qual é o percentual de perda de eficiência a cada ano que passa?
f) Se um fabricante concorrente oferece um painel modelado por P_{2}(t)=800 \cdot(0,90)^{t}, qual dos dois sistemas degrada mais rapidamente? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação dada: a produção mensal está modelada por P(t)=800\cdot(0,95)^{t}, onde t é o tempo em anos e P(t) está em kWh.
  • O enunciado pede:
    (a) produção mensal no instante da instalação ( t=0);
    (b) produção mensal estimada ao final de 2 anos ( t=2);
    (c) produção estimada ao final de 4 anos ( t=4);
    (d) dizer se é crescimento ou decaimento exponencial e indicar qual elemento da equação comprova isso;
    (e) qual o percentual de perda de eficiência a cada ano;
    (f) comparar com P_{2}(t)=800\cdot(0,90)^{t} e dizer qual degrada mais rápido, justificando.

Passo 2

Entendendo o modelo exponencial de forma didática (aula rápida e prática).
  • Uma função exponencial na forma \,P(t)=P_{0}\cdot a^{t}\, significa:
    • P_{0} é o valor inicial (quando t=0);
    • a é o fator multiplicativo por unidade de tempo (aqui por ano): se a=0{,}95 significa “multiplica por 0{,}95” a cada ano;
    • se a>1 há crescimento (aumenta a cada ano); se 0<a<1 há decaimento (diminui a cada ano).
  • Para transformar o fator a em percentuais: a fração retida por ano é a; a perda percentual por ano é (1-a)\times100\%.

Passo 3

(a) Calcular a produção no instante da instalação ( t=0).
  • Usar a fórmula com t=0:
P(0)=800\cdot(0,95)^{0}.
  • Lembrando que qualquer número diferente de zero elevado a 0 vale 1, então (0,95)^{0}=1.
P(0)=800\cdot 1=800\\ \text{kWh}.
Interpretação: isso faz sentido — no início a estimativa é exatamente a produção inicial indicada.

Passo 4

(b) Calcular a produção ao final de 2 anos ( t=2).
  • Primeiro calcule o fator (0,95)^{2}:
(0,95)^{2}=0,95\cdot0,95=0,9025.
  • Agora multiplique pelo valor inicial:
P(2)=800\cdot 0,9025.
  • Multiplicação passo a passo:
800\cdot 0,9025 = 800\cdot(0,90+0,0025)=800\cdot0,90+800\cdot0,0025=720+2=722.
Portanto
P(2)=722\\ \text{kWh}.
Interpretação: após 2 anos a produção mensal estimada cai para 722 kWh.

Passo 5

(c) Calcular a produção ao final de 4 anos ( t=4).
  • Uma forma prática é usar (0,95)^{4}=\big((0,95)^{2}\big)^{2}. Já temos (0,95)^{2}=0,9025.
(0,95)^{4}=(0,9025)^{2}.
  • Calcular 0,9025^{2} com cuidado:
0,9025^{2}=0,81450625.
(esse valor vem de multiplicar 0{,}9025\times0{,}9025; pode-se pensar em inteiros 9025^2=81\,450\,625 e ajustar a casa decimal).
  • Agora multiplicar por 800:
P(4)=800\cdot 0,81450625 = 651,605\\ \text{kWh}.
  • Para uso prático na prova pode-se arredondar, por exemplo, para duas casas decimais:
P(4)\approx651,61\\ \text{kWh}.
Interpretação: após 4 anos a produção estimada é cerca de 651{,}61 kWh por mês.

Passo 6

(d) Crescimento ou decaimento exponencial? Qual elemento prova isso?
  • Observação direta: o fator multiplicativo por ano é 0,95.
  • Como 0{,}95<1, a quantidade é reduzida a cada ano: portanto é um decaimento exponencial.
  • Resposta curta: é decaimento exponencial; a prova está no fato de que o fator da potência é (0,95), um número menor que 1.

Passo 7

(e) Percentual de perda de eficiência a cada ano.
  • A fração que permanece a cada ano é 0,95, então a perda anual é 1-0,95=0,05.
  • Em percentual:
\text{perda anual} = 0{,}05\times100\%=5\%.
Interpretação: a cada ano o sistema perde 5\% da produção em relação ao ano anterior.

Passo 8

(f) Comparação com P_{2}(t)=800\cdot(0,90)^{t}: qual degrada mais rápido?
  • Olhar o fator multiplicativo por ano em cada modelo:
    • Para o primeiro painel: fator a_{1}=0{,}95 → retenção anual 95\% → perda 5\% ao ano.
    • Para o segundo painel: fator a_{2}=0{,}90 → retenção anual 90\% → perda 10\% ao ano.
  • Como 0{,}90<0{,}95, o painel com a_{2}=0{,}90 perde porcentagem maior por ano e, portanto, degrada mais rapidamente.
  • Para ilustrar com números: ao final de 2 anos
P_{1}(2)=800\cdot(0,95)^{2}=722\\ \text{kWh}, \qquad P_{2}(2)=800\cdot(0,90)^{2}=800\cdot0,81=648\\ \text{kWh}.
Portanto P_{2}(2)=648 kWh < P_{1}(2)=722 kWh; o segundo painel tem queda mais acentuada. Conclusão: o painel com base 0{,}90 degrada mais rápido porque seu fator anual é menor (retenção menor) — isto é, perde 10\% ao ano contra 5\% do primeiro.

Resposta

(a) 800\\ \text{kWh}
(b) 722\\ \text{kWh}
(c) 651{,}605\\ \text{kWh}\approx651{,}61\\ \text{kWh}
(d) Decaimento exponencial — porque o fator (0,95) é menor que 1.
(e) 5\% de perda por ano.
(f) O sistema com P_{2}(t)=800\cdot(0,90)^{t} degrada mais rapidamente, pois seu fator anual 0{,}90 (retenção 90\%) implica perda de 10\% ao ano, maior que os 5\% do primeiro sistema.

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