Um sistema de energia solar fotovoltaica recém-instalado no telhado de uma residência possui uma estimativa inicial de produção de
kWh mensais. Devido à degradação natural dos painéis, a produção mensal
cai exponencialmente ao longo dos anos
, modelada pela função
.
a) Qual é a produção mensal no instante da instalação (
)?
b) Qual será a produção mensal estimada ao final de 2 anos de operação?
c) Qual será a produção estimada ao final de 4 anos?
d) Esta função representa um crescimento ou um decaimento exponencial? Qual elemento da equação o comprova?
e) Qual é o percentual de perda de eficiência a cada ano que passa?
f) Se um fabricante concorrente oferece um painel modelado por
, qual dos dois sistemas degrada mais rapidamente? Justifique.
a) Qual é a produção mensal no instante da instalação (
b) Qual será a produção mensal estimada ao final de 2 anos de operação?
c) Qual será a produção estimada ao final de 4 anos?
d) Esta função representa um crescimento ou um decaimento exponencial? Qual elemento da equação o comprova?
e) Qual é o percentual de perda de eficiência a cada ano que passa?
f) Se um fabricante concorrente oferece um painel modelado por
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Informação dada: a produção mensal está modelada por
, onde é o tempo em anos e está em kWh. - O enunciado pede:
(a) produção mensal no instante da instalação ();
(b) produção mensal estimada ao final de 2 anos ();
(c) produção estimada ao final de 4 anos ();
(d) dizer se é crescimento ou decaimento exponencial e indicar qual elemento da equação comprova isso;
(e) qual o percentual de perda de eficiência a cada ano;
(f) comparar come dizer qual degrada mais rápido, justificando.
Passo 2
Entendendo o modelo exponencial de forma didática (aula rápida e prática).
- Uma função exponencial na forma
significa: -
é o valor inicial (quando ); -
é o fator multiplicativo por unidade de tempo (aqui por ano): se significa “multiplica por ” a cada ano; - se
há crescimento (aumenta a cada ano); se há decaimento (diminui a cada ano).
-
- Para transformar o fator
em percentuais: a fração retida por ano é ; a perda percentual por ano é .
Passo 3
(a) Calcular a produção no instante da instalação (
).
- Usar a fórmula com
:
- Lembrando que qualquer número diferente de zero elevado a
vale , então .
Interpretação: isso faz sentido — no início a estimativa é exatamente a produção inicial indicada.
Passo 4
(b) Calcular a produção ao final de 2 anos (
).
- Primeiro calcule o fator
:
- Agora multiplique pelo valor inicial:
- Multiplicação passo a passo:
Portanto
Interpretação: após 2 anos a produção mensal estimada cai para
kWh.
Passo 5
(c) Calcular a produção ao final de 4 anos (
).
- Uma forma prática é usar
. Já temos .
- Calcular
com cuidado:
(esse valor vem de multiplicar
; pode-se pensar em inteiros
e ajustar a casa decimal).
- Agora multiplicar por
:
- Para uso prático na prova pode-se arredondar, por exemplo, para duas casas decimais:
Interpretação: após 4 anos a produção estimada é cerca de
kWh por mês.
Passo 6
(d) Crescimento ou decaimento exponencial? Qual elemento prova isso?
- Observação direta: o fator multiplicativo por ano é
. - Como
, a quantidade é reduzida a cada ano: portanto é um decaimento exponencial. - Resposta curta: é decaimento exponencial; a prova está no fato de que o fator da potência é
, um número menor que .
Passo 7
(e) Percentual de perda de eficiência a cada ano.
- A fração que permanece a cada ano é
, então a perda anual é . - Em percentual:
Interpretação: a cada ano o sistema perde
da produção em relação ao ano anterior.
Passo 8
(f) Comparação com
: qual degrada mais rápido?
- Olhar o fator multiplicativo por ano em cada modelo:
- Para o primeiro painel: fator
→ retenção anual → perda ao ano. - Para o segundo painel: fator
→ retenção anual → perda ao ano.
- Para o primeiro painel: fator
- Como
, o painel com perde porcentagem maior por ano e, portanto, degrada mais rapidamente. - Para ilustrar com números: ao final de 2 anos
Portanto
kWh <
kWh; o segundo painel tem queda mais acentuada. Conclusão: o painel com base
degrada mais rápido porque seu fator anual é menor (retenção menor) — isto é, perde
ao ano contra
do primeiro.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Decaimento exponencial — porque o fator é menor que
.
(e) de perda por ano.
(f) O sistema com degrada mais rapidamente, pois seu fator anual
(retenção
) implica perda de
ao ano, maior que os
do primeiro sistema.
(b)
(c)
(d) Decaimento exponencial — porque o fator
(e)
(f) O sistema com