Utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos, calcule o valor numérico exato das expressões abaixo sem recorrer à calculadora:
Sabendo que \log _{10}(2) \approx 0,30 e \log _{10}(3) \approx 0,48, utilize as propriedades para calcular o valor aproximado de \log _{10}(6) e \log _{10}(1,5).

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando propriedades dos logaritmos e sem calculadora, os valores aproximados de \log_{10}(6) e \log_{10}(1,5). As informações fornecidas são:
  • \log_{10}(2)\approx0,30 (dado).
  • \log_{10}(3)\approx0,48 (dado).

Passo 2

Relembrando duas propriedades fundamentais dos logaritmos (base 10 neste caso):
  • Regra do produto: para x>0 e y>0,
\log_{10}(xy)=\log_{10}(x)+\log_{10}(y).
Explicação curta do porquê: se \log_{10}(x)=a e \log_{10}(y)=b, então 10^{a}=x e 10^{b}=y. Multiplicando, 10^{a+b}=xy. Tomando logaritmo em ambos os lados obtém-se a igualdade acima.
  • Regra do quociente: para x>0 e y>0,
\log_{10}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{10}(x)-\log_{10}(y).
Explicação curta do porquê: mesma ideia, usar exponenciais e subtrair os expoentes.
Vou aplicar essas regras diretamente aos números que aparecem no enunciado.

Passo 3

Calcular \log_{10}(6).
Observação: 6=2\cdot3. Aplicando a regra do produto,
\log_{10}(6)=\log_{10}(2\cdot3)=\log_{10}(2)+\log_{10}(3).
Substituindo as aproximações dadas:
\log_{10}(6)\approx0,30+0,48.
Somando:
0,30+0,48=0,78.
Portanto \log_{10}(6)\approx0,78.

Passo 4

Calcular \log_{10}(1,5).
Observação: 1,5=\dfrac{3}{2}. Aplicando a regra do quociente,
\log_{10}(1,5)=\log_{10}\!\left(\frac{3}{2}\right)=\log_{10}(3)-\log_{10}(2).
Substituindo as aproximações dadas:
\log_{10}(1,5)\approx0,48-0,30.
Subtraindo:
0,48-0,30=0,18.
Portanto \log_{10}(1,5)\approx0,18.

Passo 5

Resumo final dos cálculos (para conferência rápida):
  • Usei da decomposição 6=2\cdot3 e a regra do produto.
  • Usei da decomposição 1,5=3/2 e a regra do quociente.
    As contas foram apenas soma e subtração das aproximações fornecidas.

Resposta

\log_{10}(6)=0,78
\log_{10}(1,5)=0,18

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