Para cada uma das funções trigonométricas abaixo, determine: (1) O valor máximo, (2) O valor mínimo, e (3) O período de oscilação completo da onda.
f(x)=5-3 \cos (2 \pi x)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função \,f(x)=5-3\cos(2\pi x)\,:
  • (1) o valor máximo de f(x);
  • (2) o valor mínimo de f(x);
  • (3) o período completo de oscilação da onda.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é \,f(x)=5-3\cos(2\pi x)\,.
  • O termo -3 multiplica a função \cos(2\pi x).
  • O termo 5 é um deslocamento vertical (soma constante).

Passo 2

Entendendo a forma geral e o alcance da função cosseno (aula rápida e intuítiva).
  • Sabemos que a função cosseno tem alcance \, \cos(t)\in[-1,1]\, para qualquer t.
  • Uma função do tipo \,D + A\cos(Bx + C)\, tem:
    • amplitude \,|A|\, (a “meia-altura” da oscilação),
    • deslocamento vertical \,D\, (o centro entre máximo e mínimo),
    • período \,T=\dfrac{2\pi}{|B|}\, (explico isso com mais calma nos próximos passos).
  • No nosso caso podemos ver a função como \,f(x)=D + A\cos(Bx)\, com:
    • D=5,
    • A=-3,
    • B=2\pi.
Observação didática sobre o sinal de A: o sinal negativo só inverte a fase (o ponto onde a onda começa), mas a amplitude é |A|=3. Ou seja, a oscilação tem “meia-altura” 3 em torno do centro 5.

Passo 3

Encontrando os valores máximo e mínimo usando que \cos(t)\in[-1,1].
  • Como \cos(t) varia entre -1 e 1, o termo -3\cos(2\pi x) varia entre -3\cdot 1 e -3\cdot(-1); isto é, entre -3 e 3.
  • Somando o deslocamento vertical 5, obtemos que f(x) varia entre 5+(-3)=2 \quad\text{e}\quad 5+3=8.
  • Portanto:
    • o valor mínimo é \,2, que ocorre quando \cos(2\pi x)=1 (por exemplo em x=k, k\in\mathbb{Z});
    • o valor máximo é \,8, que ocorre quando \cos(2\pi x)=-1 (por exemplo em x=\tfrac{1}{2}+k, k\in\mathbb{Z}).
Dica prática para prova: uma forma rápida é lembrar que o intervalo é [D-|A|,\,D+|A|].

Passo 4

Determinando o período da função (explicação passo a passo).
  • Para uma função \cos(Bx), o cosseno completa uma oscilação inteira quando o argumento Bx aumenta em 2\pi. Logo o período T satisfaz B(x+T)-Bx = 2\pi \quad\Rightarrow\quad BT = 2\pi \quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{|B|}.
  • No nosso caso B=2\pi. Aplicando a fórmula: T=\frac{2\pi}{|2\pi|}=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
  • Intuição: \cos(2\pi x) faz exatamente uma volta do cosseno quando x aumenta de 1 (porque o ângulo multiplicado por 2\pi aumenta de 2\pi). Portanto a função repete a cada unidade em x.

Passo 5

Resumo dos resultados já obtidos e conferência rápida:
  • amplitude |A|=3,
  • centro vertical D=5,
  • intervalo de valores [2,8],
  • período T=1.
    Isso bate com as contas: mínimo 5-3=2, máximo 5+3=8.

Resposta

\text{Valor máximo} = 8á
\text{Valor mínimo} = 2í
\text{Período} = 1í

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