Para cada uma das funções trigonométricas abaixo, determine: (1) O valor máximo, (2) O valor mínimo, e (3) O período de oscilação completo da onda.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- (1) o valor máximo de
; - (2) o valor mínimo de
; - (3) o período completo de oscilação da onda.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função é
. - O termo
multiplica a função . - O termo
é um deslocamento vertical (soma constante).
Passo 2
Entendendo a forma geral e o alcance da função cosseno (aula rápida e intuítiva).
- Sabemos que a função cosseno tem alcance
para qualquer . - Uma função do tipo
tem: - amplitude
(a “meia-altura” da oscilação), - deslocamento vertical
(o centro entre máximo e mínimo), - período
(explico isso com mais calma nos próximos passos).
- amplitude
- No nosso caso podemos ver a função como
com: -
, -
, -
.
-
Observação didática sobre o sinal de
: o sinal negativo só inverte a fase (o ponto onde a onda começa), mas a amplitude é
. Ou seja, a oscilação tem “meia-altura”
em torno do centro
.
Passo 3
Encontrando os valores máximo e mínimo usando que
.
- Como
varia entre e , o termo varia entre e ; isto é, entre e . - Somando o deslocamento vertical
, obtemos que varia entre - Portanto:
- o valor mínimo é
, que ocorre quando (por exemplo em , ); - o valor máximo é
, que ocorre quando (por exemplo em , ).
- o valor mínimo é
Dica prática para prova: uma forma rápida é lembrar que o intervalo é
.
Passo 4
Determinando o período da função (explicação passo a passo).
- Para uma função
, o cosseno completa uma oscilação inteira quando o argumento aumenta em . Logo o período satisfaz - No nosso caso
. Aplicando a fórmula: - Intuição:
faz exatamente uma volta do cosseno quando aumenta de (porque o ângulo multiplicado por aumenta de ). Portanto a função repete a cada unidade em .
Passo 5
Resumo dos resultados já obtidos e conferência rápida:
- amplitude
, - centro vertical
, - intervalo de valores
, - período
.
Isso bate com as contas: mínimo, máximo .