Considere a equação diferencial de primeira ordem
.
a) Mostre que
é uma solução da equação diferencial.
b) Mostre que
é uma solução da equação diferencial.
c) Mostre que
é uma solução geral (família de curvas integrais) da equação diferencial.
a) Mostre que
b) Mostre que
c) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para mostrar, separadamente, que cada uma das seguintes funções é solução:
a) ,
b) ,
c) (mostrar que essa forma é a solução geral, isto é, a família de curvas integrais).
Informações relevantes dadas: a equação relaciona a derivada de com
multiplicada por
. Não há condições iniciais fornecidas, apenas verificar que as funções propostas satisfazem a equação.
a)
b)
c)
Informações relevantes dadas: a equação relaciona a derivada de
Passo 2
Primeiro vamos lembrar (e explicar) a regra de derivação que usaremos: a derivada de uma exponencial composta. Se tivermos uma função da forma
, onde
é uma função diferenciável, então a regra do quadro (regra da cadeia) diz que
Explicando devagar: a função
tem derivada
em relação a
. Quando o expoente é uma função
, ao derivar em relação a
multiplicamos pela derivada do expoente,
. Esse é o conteúdo da regra da cadeia. Também usaremos a regra do múltiplo constante: se
é constante e
é função, então
Passo 3
Parte (a): verificar que
é solução.
Defina . Aqui o expoente é
, cuja derivada é
. Aplicando a regra da cadeia (Passo 2) obtemos
Defina
Agora compare com o lado direito da equação diferencial:
. Portanto
logo
satisfaz a equação e é, portanto, uma solução. (No exame: basta derivar e substituir; se os dois lados coincidirem, está comprovado.)
Passo 4
Parte (b): verificar que
é solução.
Defina . Usamos a regra do múltiplo constante e a regra da cadeia:
Defina
Mas
, então
. Portanto
também satisfaz a equação diferencial e é solução. Observação prática: multiplicar a solução encontrada por uma constante funcionou porque a equação é linear homogênea em
.
Passo 5
Parte (c) — verificar que
é solução para qualquer constante
.
Defina com
constante. Derivando e usando regra do múltiplo constante e da cadeia:
Defina
Assim a igualdade da equação diferencial vale para qualquer
. Concluímos que toda função da forma
é solução.
Passo 6
Agora vamos mostrar (didaticamente) que nenhuma solução contínua e diferenciável foi deixada de fora — ou seja,
é a solução geral. Para isso usamos separação de variáveis (método muito básico e útil em provas). Partimos de
Se
não é identicamente zero, podemos dividir por
e separar as variáveis:
Agora integramos ambos os lados (integração indefinida):
As integrais conhecidas dão
onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Chamando
obtemos
, o que implica
. Escrevendo a constante arbitrária geral como
(que pode ser positiva, negativa ou zero) temos
Há um detalhe técnico: ao dividir por
no passo de separação excluímos a possibilidade
. Devemos verificar separadamente que
é solução: se
então
e
, então a igualdade é satisfeita. Por isso a forma
com
também representa a solução zero. Assim a família
com
cobre todas as soluções.
Passo 7
Resumo final e dica de prova: para verificar qualquer candidata a solução, derive-a e substitua na equação. Para obter a solução geral de
(caso geral), use separação de variáveis e obtenha
. No caso específico aqui
, então
. Força aí nos estudos — o método de separação e a verificação por substituição são ferramentas que caem bastante em provas.
Resposta
a)
b)
c) (com
)
b)
c)