Considere a equação diferencial de primeira ordem \frac{d y}{d x}=2 y.
a) Mostre que y=e^{2 x} é uma solução da equação diferencial.
b) Mostre que y=5 e^{2 x} é uma solução da equação diferencial.
c) Mostre que y=C \cdot e^{2 x} é uma solução geral (família de curvas integrais) da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=2y
e pede para mostrar, separadamente, que cada uma das seguintes funções é solução:
a) \;y=e^{2x},
b) \;y=5e^{2x},
c) \;y=C\cdot e^{2x} (mostrar que essa forma é a solução geral, isto é, a família de curvas integrais).
Informações relevantes dadas: a equação relaciona a derivada de y com y multiplicada por 2. Não há condições iniciais fornecidas, apenas verificar que as funções propostas satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (e explicar) a regra de derivação que usaremos: a derivada de uma exponencial composta. Se tivermos uma função da forma \;y=e^{u(x)}, onde u(x) é uma função diferenciável, então a regra do quadro (regra da cadeia) diz que
\frac{d}{dx} e^{u(x)} = u'(x)\,e^{u(x)}.
Explicando devagar: a função e^t tem derivada e^t em relação a t. Quando o expoente é uma função u(x), ao derivar em relação a x multiplicamos pela derivada do expoente, u'(x). Esse é o conteúdo da regra da cadeia. Também usaremos a regra do múltiplo constante: se k é constante e y(x) é função, então
\frac{d}{dx}\big(k\,y(x)\big) = k\,\frac{d}{dx}y(x).

Passo 3

Parte (a): verificar que \;y=e^{2x} é solução.
Defina \;y(x)=e^{2x}. Aqui o expoente é u(x)=2x, cuja derivada é u'(x)=2. Aplicando a regra da cadeia (Passo 2) obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2\,e^{2x}.
Agora compare com o lado direito da equação diferencial: 2y = 2\cdot e^{2x}. Portanto
\frac{dy}{dx}=2\,e^{2x}=2y,
logo \;y=e^{2x} satisfaz a equação e é, portanto, uma solução. (No exame: basta derivar e substituir; se os dois lados coincidirem, está comprovado.)

Passo 4

Parte (b): verificar que \;y=5e^{2x} é solução.
Defina \;y(x)=5e^{2x}. Usamos a regra do múltiplo constante e a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = 5\cdot\frac{d}{dx} e^{2x} = 5\cdot(2e^{2x}) = 2\cdot(5e^{2x}).
Mas 5e^{2x}=y, então \frac{dy}{dx}=2y. Portanto \;y=5e^{2x} também satisfaz a equação diferencial e é solução. Observação prática: multiplicar a solução encontrada por uma constante funcionou porque a equação é linear homogênea em y.

Passo 5

Parte (c) — verificar que \;y=C\,e^{2x} é solução para qualquer constante C.
Defina \;y(x)=C\,e^{2x} com C constante. Derivando e usando regra do múltiplo constante e da cadeia:
\frac{dy}{dx} = C\cdot\frac{d}{dx} e^{2x} = C\cdot(2e^{2x}) = 2\cdot(Ce^{2x}) = 2y.
Assim a igualdade da equação diferencial vale para qualquer C. Concluímos que toda função da forma \;y=C\,e^{2x} é solução.

Passo 6

Agora vamos mostrar (didaticamente) que nenhuma solução contínua e diferenciável foi deixada de fora — ou seja, \;y=C\,e^{2x} é a solução geral. Para isso usamos separação de variáveis (método muito básico e útil em provas). Partimos de
\frac{dy}{dx}=2y.
Se y(x) não é identicamente zero, podemos dividir por y e separar as variáveis:
\frac{1}{y}\,dy = 2\,dx.
Agora integramos ambos os lados (integração indefinida):
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2\,dx.
As integrais conhecidas dão
\ln|y| = 2x + k,
onde k é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{2x+k} = e^{k}e^{2x}.
Chamando A=e^{k}>0 obtemos |y|=A e^{2x}, o que implica y = \pm A e^{2x}. Escrevendo a constante arbitrária geral como C (que pode ser positiva, negativa ou zero) temos
y = C e^{2x}.
Há um detalhe técnico: ao dividir por y no passo de separação excluímos a possibilidade y\equiv 0. Devemos verificar separadamente que y\equiv 0 é solução: se y(x)=0 então \frac{dy}{dx}=0 e 2y=0, então a igualdade é satisfeita. Por isso a forma y=C e^{2x} com C=0 também representa a solução zero. Assim a família \;y=C\,e^{2x} com C\in\mathbb{R} cobre todas as soluções.

Passo 7

Resumo final e dica de prova: para verificar qualquer candidata a solução, derive-a e substitua na equação. Para obter a solução geral de \frac{dy}{dx}=ky (caso geral), use separação de variáveis e obtenha y=Ce^{kx}. No caso específico aqui k=2, então y=Ce^{2x}. Força aí nos estudos — o método de separação e a verificação por substituição são ferramentas que caem bastante em provas.

Resposta

a) y=e^{2x}
b) y=5e^{2x}
c) y=C\,e^{2x} (com C\in\mathbb{R})

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