Utilizando Simplificação Algébrica (Teoremas Booleanos e DeMorgan), simplifique ao máximo as expressões lógicas abaixo. Posteriormente, desenhe o circulto da expressão simplificada utilizando somente as portas pedidas entre parênteses. OBS.: Mostre TODOS os passos da simplificação e seja organizado na apresentação dos resultados.
Passo 1
O enunciado dá a expressão lógica abaixo e pede que ela seja simplificada ao máximo (usando teoremas booleanos / De Morgan) e que se desenhe o circuito da expressão simplificada:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As variáveis de entrada são
, , , . - A expressão inteira está multiplicada por
(ou seja, é um AND final com ).
O que se pede: - Simplificar algébrica e completamente
. - Descrever (desenhar em forma textual) o circuito correspondente à expressão simplificada.
Passo 2
Antes de começar a manipular, lembre das leis/identidades booleanas que vamos usar (com linguagem direta e exemplos curtos):
- Lei do complemento:
e . - Lei da identidade:
, . - Lei do anulador:
, . - Distributiva:
e . - Absorção:
e . - Teorema usado com frequência:
. (Demonstração rápida: .) - Observação prática: se um termo é multiplicado por
, qualquer subtermo que contenha multiplicado some porque .
Passo 3
Começamos fatorando
que está em ambos os termos dentro dos colchetes:
Explicação: a distributiva/associativa permite tirar
em evidência porque ambos os termos do soma interna têm fator
.
Passo 4
Simplificamos a soma interna usando o teorema
. Tome
. Então
Portanto
Comentário didático: isso reduz um produto com
mais o complemento
numa soma simples envolvendo
.
Passo 5
Agora observe que
multiplica o parêntese que contém
. Como
, temos
. Assim o termo
some ao multiplicar por
:
Passo 6
Substituindo no
e usando associatividade/commutatividade do AND:
Passo 7
Aplicamos a lei da absorção
com
e
. Assim
Logo
Passo 8
Resumo e verificação rápida por raciocínio lógico (cheiro de prova):
- Se
então porque tudo é multiplicado por . - Se
então .
Portantoquando , e quando : isso é exatamente . Confirmação consistente.
Passo 9
Desenho (descrição passo-a-passo do circuito) da expressão simplificada
usando portas básicas (NOT e AND):
- Entrada
entra em uma porta NOT, gerando . - Entrada
segue direta para uma entrada de uma porta AND. - Saídas de
(do NOT) e de entram nas duas entradas da porta AND. - A saída da porta AND é
.
Representação textual (tipo esboço em texto):
- B --> [NOT] --> B’
- C --------------------
[AND] --> S - B’ --------------------/
Isso usa somente uma porta NOT (para
) e uma porta AND (para combinar
e
).