Utilizando Simplificação Algébrica (Teoremas Booleanos e DeMorgan), simplifique ao máximo as expressões lógicas abaixo. Posteriormente, desenhe o circulto da expressão simplificada utilizando somente as portas pedidas entre parênteses. OBS.: Mostre TODOS os passos da simplificação e seja organizado na apresentação dos resultados.
S=[A \cdot \bar{B} \cdot(C+B \cdot D)+\bar{A} \cdot \bar{B}] \cdot C

Passo 1

O enunciado dá a expressão lógica abaixo e pede que ela seja simplificada ao máximo (usando teoremas booleanos / De Morgan) e que se desenhe o circuito da expressão simplificada:
S=\bigl[A\cdot\bar{B}\cdot(C+B\cdot D)+\bar{A}\cdot\bar{B}\bigr]\cdot C.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As variáveis de entrada são A, B, C, D.
  • A expressão inteira está multiplicada por C (ou seja, é um AND final com C).
    O que se pede:
  • Simplificar algébrica e completamente S.
  • Descrever (desenhar em forma textual) o circuito correspondente à expressão simplificada.

Passo 2

Antes de começar a manipular, lembre das leis/identidades booleanas que vamos usar (com linguagem direta e exemplos curtos):
  • Lei do complemento: \bar{X}\cdot X=0 e \bar{X}+X=1.
  • Lei da identidade: X\cdot1=X, X+0=X.
  • Lei do anulador: X\cdot0=0, X+1=1.
  • Distributiva: X\cdot(Y+Z)=X\cdot Y+X\cdot Z e X+Y\cdot Z=(X+Y)\cdot(X+Z).
  • Absorção: X\cdot(X+Y)=X e X+(X\cdot Y)=X.
  • Teorema usado com frequência: \bar{A}+A\cdot X=\bar{A}+X. (Demonstração rápida: \bar{A}+A\cdot X=(\bar{A}+A)\cdot(\bar{A}+X)=1\cdot(\bar{A}+X)=\bar{A}+X.)
  • Observação prática: se um termo é multiplicado por \bar{B}, qualquer subtermo que contenha B multiplicado some porque \bar{B}\cdot B=0.

Passo 3

Começamos fatorando \bar{B} que está em ambos os termos dentro dos colchetes:
S=\bigl[A\cdot\bar{B}\cdot(C+B\cdot D)+\bar{A}\cdot\bar{B}\bigr]\cdot C =\bar{B}\cdot\bigl[A\cdot(C+B\cdot D)+\bar{A}\bigr]\cdot C.
Explicação: a distributiva/associativa permite tirar \bar{B} em evidência porque ambos os termos do soma interna têm fator \bar{B}.

Passo 4

Simplificamos a soma interna usando o teorema \bar{A}+A\cdot X=\bar{A}+X. Tome X=(C+B\cdot D). Então
A\cdot(C+B\cdot D)+\bar{A}=\bar{A} + (C+B\cdot D).
Portanto
S=\bar{B}\cdot\bigl(\bar{A}+C+B\cdot D\bigr)\cdot C.
Comentário didático: isso reduz um produto com A mais o complemento \bar{A} numa soma simples envolvendo X.

Passo 5

Agora observe que \bar{B} multiplica o parêntese que contém B\cdot D. Como \bar{B}\cdot B=0, temos \bar{B}\cdot(B\cdot D)=0. Assim o termo B\cdot D some ao multiplicar por \bar{B}:
\bar{B}\cdot\bigl(\bar{A}+C+B\cdot D\bigr)=\bar{B}\cdot(\bar{A}+C)+\bar{B}\cdot(B\cdot D) =\bar{B}\cdot(\bar{A}+C)+0 =\bar{B}\cdot(\bar{A}+C).

Passo 6

Substituindo no S e usando associatividade/commutatividade do AND:
S=\bigl[\bar{B}\cdot(\bar{A}+C)\bigr]\cdot C = C\cdot\bar{B}\cdot(\bar{A}+C).

Passo 7

Aplicamos a lei da absorção X\cdot(X+Y)=X com X=C e Y=\bar{A}. Assim
C\cdot(\bar{A}+C)=C.
Logo
S=C\cdot\bar{B}.

Passo 8

Resumo e verificação rápida por raciocínio lógico (cheiro de prova):
  • Se C=0 então S=0 porque tudo é multiplicado por C.
  • Se C=1 então S=[A\cdot\bar{B}\cdot(1+B\cdot D)+\bar{A}\cdot\bar{B}]\cdot1 =\bar{B}\cdot[A\cdot(1+\cdots)+\bar{A}]=\bar{B}\cdot(A+\bar{A})=\bar{B}.
    Portanto S=\bar{B} quando C=1, e S=0 quando C=0: isso é exatamente S=C\cdot\bar{B}. Confirmação consistente.

Passo 9

Desenho (descrição passo-a-passo do circuito) da expressão simplificada \;S=\bar{B}\cdot C\; usando portas básicas (NOT e AND):
  • Entrada B entra em uma porta NOT, gerando \bar{B}.
  • Entrada C segue direta para uma entrada de uma porta AND.
  • Saídas de \bar{B} (do NOT) e de C entram nas duas entradas da porta AND.
  • A saída da porta AND é S.
Representação textual (tipo esboço em texto):
  • B --> [NOT] --> B’
  • C --------------------
    [AND] --> S
  • B’ --------------------/
Isso usa somente uma porta NOT (para B) e uma porta AND (para combinar \bar{B} e C).

Resposta

\bar{B}\cdot C

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