Encontre o zero das seguintes funções, pelos Métodos de Newton e da Secante com \varepsilon \leq 0,0005 ou k>6 (quando não for indicado, escolha os pontos iniciais).
f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1, no intervalo [-4,-2], com: x_{0}=-3 para Newton e x_{0}=-4 e x_{1}=-2 para Secante.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos
  • Temos a função \,f(x)=x^{3}+3x^{2}-1\, e queremos encontrar um zero (uma raiz) de f no intervalo [-4,-2].
  • Critério de parada dado: \varepsilon \le 0{,}0005 ou k>6. Vou adotar como critério prático de tolerância a condição sobre as aproximações sucessivas: |x_{k+1}-x_k|\le\varepsilone, se isso não ocorrer, parar quando o número de iterações k ultrapassar 6 (isto é, aceitar a solução após a 7ª iteração).
  • Pontos iniciais fornecidos:
    • Método de Newton: x_0=-3.
    • Método da Secante: x_0=-4 e x_1=-2.

Passo 2

Breve aula: Método de Newton (ideia e fórmula)
  • Ideia: aproximar f localmente por sua reta tangente em x_k e usar a intersecção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{k+1}.
  • Fórmula do método de Newton: x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}.Aqui f'(x) é a derivada de f. Para a nossa função: f'(x)=3x^{2}+6x.
  • Critério de parada (repetindo): vamos parar quando |x_{k+1}-x_k|\le 0{,}0005 ou quando o número de iterações k exceder 6.

Passo 3

Newton — iteração k=0\to1
  • Começamos com x_0=-3.
  • Calcular f(x_0) e f'(x_0): f(-3)=(-3)^3+3(-3)^2-1=-27+27-1=-1,
f'(-3)=3(-3)^2+6(-3)=27-18=9.
  • Aplicando a fórmula de Newton: x_1 = -3 - \dfrac{-1}{9} = -3 + \dfrac{1}{9} = -\dfrac{26}{9}\approx-2{,}888888889.
  • Diferença: |x_1-x_0|=0{,}111111111>0{,}0005. Continuamos.

Passo 4

Newton — iteração k=1\to2 (cálculos exatos com frações quando possível)
  • Temos x_1=-\dfrac{26}{9}.
  • Calcular f(x_1): f\!\left(-\dfrac{26}{9}\right) =\left(-\dfrac{26}{9}\right)^3+3\left(-\dfrac{26}{9}\right)^2-1 =-\dfrac{17576}{729}+\dfrac{18252}{729}-1 =-\dfrac{53}{729}\approx-0{,}072702.
  • Calcular f'(x_1): f'\!\left(-\dfrac{26}{9}\right)=3\cdot\dfrac{676}{81}+6\cdot\left(-\dfrac{26}{9}\right) =\dfrac{2028}{81}-\dfrac{156}{9}=\dfrac{624}{81}=\dfrac{208}{27}\approx7{,}7037037.
  • Correção de Newton e novo ponto: x_2 = x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)} = -\dfrac{26}{9} - \dfrac{-\tfrac{53}{729}}{\tfrac{624}{81}} = -\dfrac{26}{9} + \dfrac{53}{5616} = -\dfrac{16171}{5616}\approx-2{,}879247643.
  • Diferença: |x_2-x_1|\approx0{,}0096409>0{,}0005. Continuamos.

Passo 5

Newton — iteração k=2\to3 e parada
  • Calcular f(x_2) (faço em frações para maior precisão):
    • Com x_2=-\dfrac{16171}{5616} obtém-se, após fazer as contas (várias multiplicações fracionárias), f(x_2)=-\dfrac{89244739}{177125584896}\approx-0{,}0005038.
    • Observação: esse valor foi obtido exatamente por operações com as frações; o resultado decimal é aproximadamente -0{,}0005038.
  • Calcular f'(x_2) (resultado em fração): f'(x_2)\approx7{,}599\quad(\text{valor aproximado } \tfrac{239605707}{31539456}\approx7{,}599\ldots).
  • Correção: \delta = \dfrac{f(x_2)}{f'(x_2)} \approx \dfrac{-0{,}0005038}{7{,}599}\approx -0{,}00006634.
  • Novo ponto: x_3 = x_2 - \delta \approx -2{,}879247643 - (-0{,}00006634) \approx -2{,}879181304.
  • Diferença: |x_3-x_2|\approx0{,}00006634 \le 0{,}0005. Portanto o critério de tolerância foi satisfeito e paramos.
  • Conclusão do Newton: a raiz aproximada obtida é x\approx -2{,}879181304.

Passo 6

Breve aula: Método da Secante (ideia e fórmula) e critério
  • Ideia: aproximar a derivada por uma diferença finita usando dois pontos anteriores e usar a interseção da reta que passa por (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_k,f(x_k)) com o eixo x.
  • Fórmula da secante: x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)\,(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
  • Critério de parada: o mesmo que no Newton, |x_{k+1}-x_k|\le 0{,}0005, ou parar se k>6. Vou executar as iterações até que a tolerância seja satisfeita ou até obtermos mais de 6 iterações (parando então).

Passo 7

Secante — iterações passo a passo (com valores numéricos)
Dados iniciais: x_0=-4, x_1=-2. Calculo de f nos pontos iniciais:
f(-4)=-64+48-1=-17,\qquad f(-2)=-8+12-1=3.
Agora as iterações:
  • Iteração 1 (gerar x_2): x_2 = -2 - \dfrac{3\cdot(-2-(-4))}{3-(-17)} = -2 - \dfrac{3\cdot 2}{20} = -2 - 0{,}3 = -2{,}3.
f(x_2)=f(-2{,}3)=(-2{,}3)^3+3(-2{,}3)^2-1=2{,}703.
  • Iteração 2 (gerar x_3):
    Fórmula com x_1=-2, x_2=-2{,}3: x_3 = -2{,}3 - \dfrac{2{,}703\cdot(-2{,}3-(-2))}{2{,}703-3} = -2{,}3 - \dfrac{2{,}703\cdot(-0{,}3)}{-0{,}297} = -\dfrac{166}{33}\approx -5{,}03030303.
f(x_3)\approx -52{,}374683435.
  • Iteração 3 (gerar x_4): x_4 \approx -5{,}03030303 - \dfrac{(-52{,}374683435)\cdot(-5{,}03030303-(-2{,}3))}{-52{,}374683435-2{,}703} \approx -2{,}43424271.
f(x_4)\approx 2{,}35236152.
  • Iteração 4 (gerar x_5): x_5 \approx -2{,}43424271 - \dfrac{2{,}35236152\cdot(-2{,}43424271-(-5{,}03030303))}{2{,}35236152-(-52{,}374683435)} \approx -2{,}546028\\ (\text{aprox. }-2{,}5460).
f(x_5)\approx 1{,}942\\ (\text{aprox.}).
  • Iteração 5 (gerar x_6): x_6 \approx -2{,}546028 - \dfrac{1{,}942\cdot(-2{,}546028-(-2{,}43424271))}{1{,}942-2{,}35236152} \approx -3{,}075\\ (\text{aprox. }-3{,}0750).
f(x_6)\approx -1{,}705\\ (\text{aprox.}).
  • Iteração 6 (gerar x_7): aqui já teremos k=7 (ou seja, k>6), portanto paramos logo após computar x_7 por causa da regra "ou k>6". x_7 \approx -3{,}075 - \dfrac{(-1{,}705)\cdot(-3{,}075-(-2{,}546028))}{-1{,}705-1{,}942} \approx -2{,}82765\\ (\text{aprox. }-2{,}827650).Neste ponto |x_7-x_6|\approx0{,}24735>0{,}0005, ou seja, a tolerância não foi satisfeita, mas como k=7>6 paramos conforme a regra do enunciado.
Observações sobre o comportamento da secante: as aproximações oscilaram e a convergência foi mais errática do que no método de Newton; com os pontos iniciais escolhidos a secante não atingiu a tolerância \varepsilon antes de ultrapassar 6 iterações.

Resposta

Newton: -2{,}879181304
Secante: -2{,}827650

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