Encontre o zero das seguintes funções, pelos Métodos de Newton e da Secante com
0,0005 ou
(quando não for indicado, escolha os pontos iniciais).
, no intervalo
, com:
para Newton e
e
para Secante.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos
- Temos a função
e queremos encontrar um zero (uma raiz) de no intervalo . - Critério de parada dado:
ou . Vou adotar como critério prático de tolerância a condição sobre as aproximações sucessivas: e, se isso não ocorrer, parar quando o número de iterações ultrapassar 6 (isto é, aceitar a solução após a 7ª iteração). - Pontos iniciais fornecidos:
- Método de Newton:
. - Método da Secante:
e .
- Método de Newton:
Passo 2
Breve aula: Método de Newton (ideia e fórmula)
- Ideia: aproximar
localmente por sua reta tangente em e usar a intersecção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - Fórmula do método de Newton:
Aqui é a derivada de . Para a nossa função: - Critério de parada (repetindo): vamos parar quando
ou quando o número de iterações exceder 6.
Passo 3
Newton — iteração
- Começamos com
. - Calcular
e :
- Aplicando a fórmula de Newton:
- Diferença:
. Continuamos.
Passo 4
Newton — iteração
(cálculos exatos com frações quando possível)
- Temos
. - Calcular
: - Calcular
: - Correção de Newton e novo ponto:
- Diferença:
. Continuamos.
Passo 5
Newton — iteração
e parada
- Calcular
(faço em frações para maior precisão): - Com
obtém-se, após fazer as contas (várias multiplicações fracionárias), - Observação: esse valor foi obtido exatamente por operações com as frações; o resultado decimal é aproximadamente
.
- Com
- Calcular
(resultado em fração): - Correção:
- Novo ponto:
- Diferença:
. Portanto o critério de tolerância foi satisfeito e paramos. - Conclusão do Newton: a raiz aproximada obtida é
Passo 6
Breve aula: Método da Secante (ideia e fórmula) e critério
- Ideia: aproximar a derivada por uma diferença finita usando dois pontos anteriores e usar a interseção da reta que passa por
e com o eixo . - Fórmula da secante:
- Critério de parada: o mesmo que no Newton,
, ou parar se . Vou executar as iterações até que a tolerância seja satisfeita ou até obtermos mais de 6 iterações (parando então).
Passo 7
Secante — iterações passo a passo (com valores numéricos)
Dados iniciais:
,
. Calculo de
nos pontos iniciais:
Agora as iterações:
- Iteração 1 (gerar
):
- Iteração 2 (gerar
):
Fórmula com, :
- Iteração 3 (gerar
):
- Iteração 4 (gerar
):
- Iteração 5 (gerar
):
- Iteração 6 (gerar
): aqui já teremos (ou seja, ), portanto paramos logo após computar por causa da regra "ou ". Neste ponto , ou seja, a tolerância não foi satisfeita, mas como paramos conforme a regra do enunciado.
Observações sobre o comportamento da secante: as aproximações oscilaram e a convergência foi mais errática do que no método de Newton; com os pontos iniciais escolhidos a secante não atingiu a tolerância
antes de ultrapassar 6 iterações.
Resposta
Newton:
Secante: