Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \frac{e^{2 x}}{e^{x}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{2x}}{e^x + 4}\,dx.
O conteúdo é técnicas de integração por substituição: vamos identificar uma função cuja derivada apareça no numerador.

Passo 2

Faça a substituição
u = e^x + 4.
Então
du = e^x\,dx
e, como e^{2x}=e^x\cdot e^x, temos
e^{2x}\,dx = e^x\,(e^x\,dx) = e^x\,du.
Mas e^x = u - 4, logo
e^{2x}\,dx = (u - 4)\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, fica
\int \frac{e^{2x}}{e^x + 4}\,dx = \int \frac{(u - 4)\,du}{u} = \int \Bigl(1 - \frac{4}{u}\Bigr)\,du.
Agora integramos termo a termo:
\int 1\,du = u, \quad \int \frac{4}{u}\,du = 4\,\ln\lvert u\rvert.
Portanto
\int \Bigl(1 - \frac{4}{u}\Bigr)\,du = u - 4\,\ln\lvert u\rvert + C.

Passo 4

Volte à variável x usando u = e^x + 4:
u - 4\ln\lvert u\rvert + C = \bigl(e^x + 4\bigr) - 4\ln\bigl(e^x + 4\bigr) + C.
Como a constante +4 pode ser absorvida em C, obtemos a forma mais enxuta:
e^x - 4\ln\bigl(e^x + 4\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{e^{2x}}{e^x + 4}\,dx = e^x - 4\ln\bigl(e^x + 4\bigr) + C.

Exercícios relacionados