Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \frac{x^{4}+2 x^{3}+x^{2}}{2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{x^{4}+2x^{3}+x^{2}}{2x+1}\,dx.
Isso é uma função racional cujo grau do numerador é maior que o do denominador, então vamos usar divisão polinomial para reescrever a integral como soma de um polinômio mais um termo do tipo constante sobre 2x+1. Depois integramos termo a termo.

Passo 2

Fazendo a divisão de
x^{4}+2x^{3}+x^{2}
por 2x+1
obtém-se
x^{4}+2x^{3}+x^{2} = (2x+1)\Bigl(\tfrac12x^{3}+\tfrac34x^{2}+\tfrac18x-\tfrac1{16}\Bigr) +\frac1{16}.
Logo
\frac{x^{4}+2x^{3}+x^{2}}{2x+1} =\tfrac12x^{3}+\tfrac34x^{2}+\tfrac18x-\tfrac1{16} +\frac1{16(2x+1)}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x^{4}+2x^{3}+x^{2}}{2x+1}\,dx = \int\Bigl(\tfrac12x^{3}+\tfrac34x^{2}+\tfrac18x-\tfrac1{16}+\frac1{16(2x+1)}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
\int \tfrac12x^{3}\,dx = \tfrac18x^{4}, \quad \int \tfrac34x^{2}\,dx = \tfrac14x^{3}, \quad \int \tfrac18x\,dx = \tfrac1{16}x^{2},
\int -\tfrac1{16}\,dx = -\tfrac1{16}x, \quad \int \frac1{16(2x+1)}\,dx = \frac1{16}\cdot\frac12\ln\bigl|2x+1\bigr| = \tfrac1{32}\ln\bigl|2x+1\bigr|.
Somando e adicionando a constante C, obtemos
\frac18x^{4}+\frac14x^{3}+\frac1{16}x^{2}-\frac1{16}x +\frac1{32}\ln\bigl|2x+1\bigr|+C.

Resposta

\boxed{\int \frac{x^{4}+2x^{3}+x^{2}}{2x+1}\,dx = \frac18x^{4}+\frac14x^{3}+\frac1{16}x^{2}-\frac1{16}x +\frac1{32}\ln\bigl|2x+1\bigr|+C.}

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