Utilizando o teorema de Gauss, avalie a integral \iint_{S}(3 x \mathbf{i}+2 y \mathbf{j}) \cdot d \mathbf{A}, onde S é a esfera dada pela equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral de superfície
onde S é a esfera dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=9. As informações relevantes são:
A superfície S é a esfera de raio 3 centrada na origem.
O campo vetorial cuja fluxo queremos é 3x\,\mathbf{i}+2y\,\mathbf{j} (não há componente em \mathbf{k}).
A integral pedida é o fluxo total desse campo através da superfície fechada S.
Passo 2
Vou usar o Teorema da Divergência (Gauss). Vou enunciá-lo e explicar o que cada símbolo significa.
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial \mathbf{F} suave definido numa região sólida V com fronteira fechada orientada para fora S=\partial V,
\mathbf{F} é o campo vetorial cujos componentes são funções de (x,y,z).
\nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}, definida como a soma das derivadas parciais das componentes:\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
V é o volume sólido limitado por S.
dV é o elemento de volume no interior de V.
Em palavras: o fluxo total do campo através da superfície fechada é igual à integral triple da divergência no volume interno.
Passo 3
Identifico o campo vetorial e calculo a divergência.
Observe que a divergência é constante igual a 5 em todo o volume interno da esfera — isso simplifica bastante a integral triple.
Passo 4
Aplicando o teorema da divergência, a integral de superfície se transforma numa integral triple do número 5 sobre o volume V da esfera de raio 3:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}=\iiint_{V}5\,dV = 5\iiint_{V} dV = 5\cdot \text{Vol}(V).
Agora preciso calcular o volume da esfera de raio 3.
Passo 5
Calculo o volume \text{Vol}(V) da esfera de raio 3. Posso usar a fórmula conhecida do volume da esfera ou calcular diretamente em coordenadas esféricas para reforçar o procedimento.
Em coordenadas esféricas: dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, com 0\le\rho\le3, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le2\pi. Assim