Utilizando o teorema de Gauss, avalie a integral \iint_{S}(3 x \mathbf{i}+2 y \mathbf{j}) \cdot d \mathbf{A}, onde S é a esfera dada pela equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral de superfície
\iint_{S} (3x\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j})\cdot d\mathbf{A},
onde S é a esfera dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=9. As informações relevantes são:
  • A superfície S é a esfera de raio 3 centrada na origem.
  • O campo vetorial cuja fluxo queremos é 3x\,\mathbf{i}+2y\,\mathbf{j} (não há componente em \mathbf{k}).
  • A integral pedida é o fluxo total desse campo através da superfície fechada S.

Passo 2

Vou usar o Teorema da Divergência (Gauss). Vou enunciá-lo e explicar o que cada símbolo significa.
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial \mathbf{F} suave definido numa região sólida V com fronteira fechada orientada para fora S=\partial V,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Aqui:
  • \mathbf{F} é o campo vetorial cujos componentes são funções de (x,y,z).
  • \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}, definida como a soma das derivadas parciais das componentes: \nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
  • V é o volume sólido limitado por S.
  • dV é o elemento de volume no interior de V.
    Em palavras: o fluxo total do campo através da superfície fechada é igual à integral triple da divergência no volume interno.

Passo 3

Identifico o campo vetorial e calculo a divergência.
O campo é
\mathbf{F}(x,y,z)=3x\,\mathbf{i}+2y\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
Portanto as componentes são F_x=3x, F_y=2y, F_z=0. A divergência é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(3x)+\frac{\partial}{\partial y}(2y)+\frac{\partial}{\partial z}(0)=3+2+0=5.
Observe que a divergência é constante igual a 5 em todo o volume interno da esfera — isso simplifica bastante a integral triple.

Passo 4

Aplicando o teorema da divergência, a integral de superfície se transforma numa integral triple do número 5 sobre o volume V da esfera de raio 3:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}=\iiint_{V}5\,dV = 5\iiint_{V} dV = 5\cdot \text{Vol}(V).
Agora preciso calcular o volume da esfera de raio 3.

Passo 5

Calculo o volume \text{Vol}(V) da esfera de raio 3. Posso usar a fórmula conhecida do volume da esfera ou calcular diretamente em coordenadas esféricas para reforçar o procedimento.
Em coordenadas esféricas: dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, com 0\le\rho\le3, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le2\pi. Assim
\text{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Faço as integrais passo a passo.
Integral em \rho:
\int_{0}^{3}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{3}=\frac{27}{3}=9.
Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi}= -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1=2.
Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo:
\text{Vol}(V)=9\cdot 2 \cdot 2\pi =36\pi.
(Confirmando a fórmula conhecida \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=\tfrac{4}{3}\pi\cdot27=36\pi.)

Passo 6

Retorno à integral do Passo 4: como \nabla\cdot\mathbf{F}=5 e \text{Vol}(V)=36\pi,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}=5\cdot 36\pi = 180\pi.

Resposta

180\pi

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