Seja a temperatura, T , no ponto (\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) dada por T=\frac{100}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
(a) Determine a taxa de variação de T no ponto \mathrm{P}(1,3,-2) na direção do vetor \vec{a}=\hat{i}+ \hat{j}+\hat{k}
(b) Em que direção, a partir de P , T aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima de variação de T em P?

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura
T(x,y,z)=\frac{100}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
e o ponto \mathrm{P}(1,3,-2). Pede-se:
  • (a) a taxa de variação de T em \mathrm{P} na direção do vetor \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k};
  • (b) em que direção, a partir de \mathrm{P}, T aumenta mais rapidamente e qual é a taxa máxima de variação em \mathrm{P}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função T depende de x,y,z via r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • O ponto \mathrm{P} tem coordenadas x=1, y=3, z=-2. Logo r^{2} em \mathrm{P} vale 1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}=14.
  • O vetor de direção pedido em (a) é \vec{a}=(1,1,1) (precisaremos transformá-lo em vetor unitário).

Passo 2

Ideia-mestra (aula curta): para calcular taxas de variação direcionais usa-se o gradiente.
  • O gradiente de uma função escalar T(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla T=\left(\frac{\partial T}{\partial x},\;\frac{\partial T}{\partial y},\;\frac{\partial T}{\partial z}\right).
Este vetor aponta na direção de máximo crescimento de T e sua norma \|\nabla T\| é a taxa máxima de variação.
  • A derivada direcional de T em \mathrm{P} na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}T(\mathrm{P})=\nabla T(\mathrm{P})\cdot \mathbf{u}.
Se o vetor dado não for unitário, primeiro normaliza-se: \mathbf{u}=\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}.
Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de T. Escrevendo T como T=100\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1}, aplicamos a regra da cadeia.
  • Para \dfrac{\partial T}{\partial x}:
\frac{\partial T}{\partial x} =100\cdot(-1)\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-2}\cdot 2x =-\frac{200x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}.
  • De forma análoga,
\frac{\partial T}{\partial y}=-\frac{200y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}},\qquad \frac{\partial T}{\partial z}=-\frac{200z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}.
Portanto
\nabla T(x,y,z)=-\frac{200}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}(x,y,z).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto \mathrm{P}(1,3,-2). Já calculamos x^{2}+y^{2}+z^{2}=14. Então (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=14^{2}=196.
Substituindo:
\nabla T(1,3,-2) =-\frac{200}{196}(1,3,-2) =\left(-\frac{200}{196},\;-\frac{600}{196},\;\frac{400}{196}\right).
Simplificando por 4:
\nabla T(1,3,-2)=\left(-\frac{50}{49},\;-\frac{150}{49},\;\frac{100}{49}\right).
Observação intuitiva: o gradiente é um múltiplo negativo do vetor posição (1,3,-2), ou seja, aponta na direção de -(1,3,-2) (direção para o interior, em direção ao eixo radial para a origem).

Passo 5

Calcular a derivada direcional para o vetor \vec{a}=(1,1,1).
Primeiro normalizar \vec{a}. A norma é \|\vec{a}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}. Logo o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
A derivada direcional em \mathrm{P} vale
D_{\mathbf{u}}T(\mathrm{P})=\nabla T(\mathrm{P})\cdot \mathbf{u}.

Passo 6

Calcular o produto escalar passo a passo.
Somando as componentes de \nabla T(\mathrm{P}):
-\frac{50}{49} + \left(-\frac{150}{49}\right) + \frac{100}{49} = -\frac{100}{49}.
Multiplicando pela componente comum 1/\sqrt{3} do vetor unitário:
D_{\mathbf{u}}T(\mathrm{P})=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\frac{100}{49}\right) =-\frac{100}{49\sqrt{3}}.
Se quiser uma aproximação numérica para intuir o valor:
D_{\mathbf{u}}T(\mathrm{P})\approx -\frac{100}{49\cdot 1{,}732}\approx -1{,}1785.
Interpretação: o sinal negativo diz que, ao mover-se a partir de \mathrm{P} na direção (1,1,1), T diminui — ou seja, essa direção é de decrescimento da temperatura naquele ponto.

Passo 7

Direção de máximo aumento e taxa máxima.
  • A direção em que T aumenta mais rapidamente em \mathrm{P} é a direção do próprio gradiente \nabla T(\mathrm{P}). Um vetor unitário nessa direção é
\mathbf{u}_{\max}=\frac{\nabla T(\mathrm{P})}{\|\nabla T(\mathrm{P})\|}.
  • Calcular a norma de \nabla T(\mathrm{P}):
\|\nabla T(\mathrm{P})\| =\sqrt{\left(-\frac{50}{49}\right)^{2}+\left(-\frac{150}{49}\right)^{2}+\left(\frac{100}{49}\right)^{2}} =\frac{1}{49}\sqrt{50^{2}+150^{2}+100^{2}}.
Calcular dentro da raiz:
50^{2}+150^{2}+100^{2}=2500+22500+10000=35000.
Logo
\|\nabla T(\mathrm{P})\|=\frac{\sqrt{35000}}{49}.
Desenvolvendo \sqrt{35000}: 35000=100\cdot350 e 350=25\cdot14, então \sqrt{35000}=50\sqrt{14}. Assim
\|\nabla T(\mathrm{P})\|=\frac{50\sqrt{14}}{49}.
Esse valor é a taxa máxima de variação de T em \mathrm{P} (sempre positivo). Numericamente \dfrac{50\sqrt{14}}{49}\approx 3{,}818.
  • O vetor unitário na direção de máximo aumento é (simplificando):
\mathbf{u}_{\max}=\frac{\nabla T(\mathrm{P})}{\|\nabla T(\mathrm{P})\|} =-\frac{1}{\sqrt{14}}(1,3,-2),
pois \nabla T(\mathrm{P}) é -\dfrac{50}{49}(1,3,-2) e ao dividir pela norma \dfrac{50\sqrt{14}}{49} obtém-se o fator -1/\sqrt{14}.
Observação intuitiva: o sinal negativo mostra que a temperatura cresce mais rapidamente na direção apontando para a origem a partir de \mathrm{P} (ou seja, indo no sentido -(1,3,-2)).

Resposta

(a) \displaystyle D_{\mathbf{u}}T(\mathrm{P})=-\frac{100}{49\sqrt{3}}\approx -1{,}1785
(b) direção de máximo aumento: \displaystyle \mathbf{u}_{\max}=-\frac{1}{\sqrt{14}}(1,3,-2). \
taxa máxima de variação em \mathrm{P}: \displaystyle \|\nabla T(\mathrm{P})\|=\frac{50\sqrt{14}}{49}\approx 3{,}818

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