Seja a temperatura, T , no ponto
dada por
.
(a) Determine a taxa de variação de T no ponto
na direção do vetor
(b) Em que direção, a partir de P , T aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima de variação de T em P?
(a) Determine a taxa de variação de T no ponto
(b) Em que direção, a partir de P , T aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima de variação de T em P?
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura
e o ponto
. Pede-se:
- (a) a taxa de variação de
em na direção do vetor ; - (b) em que direção, a partir de
, aumenta mais rapidamente e qual é a taxa máxima de variação em .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
depende de via . - O ponto
tem coordenadas , , . Logo em vale . - O vetor de direção pedido em (a) é
(precisaremos transformá-lo em vetor unitário).
Passo 2
Ideia-mestra (aula curta): para calcular taxas de variação direcionais usa-se o gradiente.
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Este vetor aponta na direção de máximo crescimento de
e sua norma
é a taxa máxima de variação.
- A derivada direcional de
em na direção de um vetor unitário é o produto escalar
Se o vetor dado não for unitário, primeiro normaliza-se:
.
Vou aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Escrevendo
como
, aplicamos a regra da cadeia.
- Para
:
- De forma análoga,
Portanto
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Já calculamos
. Então
.
Substituindo:
Simplificando por
:
Observação intuitiva: o gradiente é um múltiplo negativo do vetor posição
, ou seja, aponta na direção de
(direção para o interior, em direção ao eixo radial para a origem).
Passo 5
Calcular a derivada direcional para o vetor
.
Primeiro normalizar
. A norma é
. Logo o vetor unitário é
A derivada direcional em
vale
Passo 6
Calcular o produto escalar passo a passo.
Somando as componentes de
:
Multiplicando pela componente comum
do vetor unitário:
Se quiser uma aproximação numérica para intuir o valor:
Interpretação: o sinal negativo diz que, ao mover-se a partir de
na direção
,
diminui — ou seja, essa direção é de decrescimento da temperatura naquele ponto.
Passo 7
Direção de máximo aumento e taxa máxima.
- A direção em que
aumenta mais rapidamente em é a direção do próprio gradiente . Um vetor unitário nessa direção é
- Calcular a norma de
:
Calcular dentro da raiz:
Logo
Desenvolvendo
:
e
, então
. Assim
Esse valor é a taxa máxima de variação de
em
(sempre positivo). Numericamente
.
- O vetor unitário na direção de máximo aumento é (simplificando):
pois
é
e ao dividir pela norma
obtém-se o fator
.
Observação intuitiva: o sinal negativo mostra que a temperatura cresce mais rapidamente na direção apontando para a origem a partir de
(ou seja, indo no sentido
).
Resposta
(a)
(b) direção de máximo aumento:
. \
taxa máxima de variação em :
taxa máxima de variação em