Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m+4}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m+4}
usando o teste da comparação ou o teste da comparação no limite. O conteúdo aqui é identificar uma série já conhecida (a harmônica) e comparar o termo geral com o termo de interesse para tirar a conclusão.

Passo 2

Definimos
a_m = \frac{1}{m+4}
e escolhemos como série de referência a série harmônica
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m},
que sabemos divergir. Vamos aplicar o teste de comparação no limite entre a_m e b_m = 1/m.

Passo 3

Calculamos o limite
L = \lim_{m\to\infty} \frac{a_m}{b_m} = \lim_{m\to\infty} \frac{\frac{1}{m+4}}{\frac{1}{m}} = \lim_{m\to\infty} \frac{m}{m+4} = 1.

Passo 4

Como 0 < L < \infty, o teste de comparação no limite diz que \sum a_m e \sum b_m apresentam o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. E como \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m} é divergente, concluímos que
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m+4}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados