Utilizando a transformada de Laplace, encontre a soluçāo do PVI
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede a função solução
. As informações são:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O objetivo é encontrar
para
, usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas que vou usar e explicar o que cada coisa significa.
- A transformada de Laplace de uma função
(assumindo adequada para ) é definida por
e denotaremos
. Aqui
é a variável complexa da transformada (na prática, tratamos
como um número real maior que certas constantes para convergência).
- Propriedades para derivadas (muito úteis para transformar EDOs com condições iniciais):
Nessas fórmulas,
, e
são os valores iniciais que já temos.
- Transformada direta conhecida (regra de deslocamento no eixo
):
A inversa é
.
Agora aplico essas propriedades ao problema.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, tenho
Usando as fórmulas das derivadas:
Agora substituo as condições iniciais
e
:
Passo 4
Faço as contas e agrupo os termos em
e os termos numéricos separadamente. Expandindo:
Agrupando os coeficientes de
e os termos independentes:
Calculo o termo constante
. Assim:
Coloco o termo independente no outro lado:
Observação: o polinômio do lado esquerdo pode ser fatorado. Faço isso para simplificar:
Portanto
Podemos cancelar o fator comum
(desde que
, o que é aceitável quando tratamos a expressão como função racional para inversão):
Passo 5
Agora inverto a transformada de Laplace. Pela fórmula conhecida,
Aqui
. Logo
Passo 6
Faço uma verificação rápida (é sempre bom checar para ganhar confiança). Se
, então
ou seja, as condições iniciais batem. Substituindo na equação:
pois
. Portanto a função encontrada satisfaz tanto a EDO quanto as condições iniciais.