Utilizando a transformada de Laplace, encontre a soluçāo do PVI
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+\frac{3}{4} y=0 \\\ y(0)=1 \text { e } y^{\prime}(0)=1 / 2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede a função solução y(t). As informações são:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+\frac{3}{4}y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1\quad\text{e}\quad y^{\prime}(0)=\tfrac{1}{2}.
O objetivo é encontrar y(t) para t\ge 0, usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas que vou usar e explicar o que cada coisa significa.
  • A transformada de Laplace de uma função y(t) (assumindo y adequada para t\ge0) é definida por
\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt,
e denotaremos \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s). Aqui s é a variável complexa da transformada (na prática, tratamos s como um número real maior que certas constantes para convergência).
  • Propriedades para derivadas (muito úteis para transformar EDOs com condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Nessas fórmulas, Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), e y(0),y'(0) são os valores iniciais que já temos.
  • Transformada direta conhecida (regra de deslocamento no eixo s):
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}\qquad(\text{para }s>a).
A inversa é \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{at}.
Agora aplico essas propriedades ao problema.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), tenho
\mathcal{L}\{y''\}-2\mathcal{L}\{y'\}+\frac{3}{4}\mathcal{L}\{y\}=0.
Usando as fórmulas das derivadas:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+\frac{3}{4}Y(s)=0.
Agora substituo as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=\tfrac{1}{2}:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 1 -\tfrac{1}{2}\bigr)-2\bigl(sY(s)-1\bigr)+\frac{3}{4}Y(s)=0.

Passo 4

Faço as contas e agrupo os termos em Y(s) e os termos numéricos separadamente. Expandindo:
s^{2}Y(s)-s-\tfrac{1}{2}-2sY(s)+2+\frac{3}{4}Y(s)=0.
Agrupando os coeficientes de Y(s) e os termos independentes:
\bigl(s^{2}-2s+\tfrac{3}{4}\bigr)Y(s)+\bigl(-s-\tfrac{1}{2}+2\bigr)=0.
Calculo o termo constante -s-\tfrac{1}{2}+2=-s+\tfrac{3}{2}. Assim:
\bigl(s^{2}-2s+\tfrac{3}{4}\bigr)Y(s)-s+\tfrac{3}{2}=0.
Coloco o termo independente no outro lado:
\bigl(s^{2}-2s+\tfrac{3}{4}\bigr)Y(s)=s-\tfrac{3}{2}.
Observação: o polinômio do lado esquerdo pode ser fatorado. Faço isso para simplificar:
s^{2}-2s+\tfrac{3}{4}=(s-\tfrac{3}{2})(s-\tfrac{1}{2}).
Portanto
Y(s)=\frac{s-\tfrac{3}{2}}{(s-\tfrac{3}{2})(s-\tfrac{1}{2})}.
Podemos cancelar o fator comum (s-\tfrac{3}{2}) (desde que s\neq \tfrac{3}{2}, o que é aceitável quando tratamos a expressão como função racional para inversão):
Y(s)=\frac{1}{s-\tfrac{1}{2}}.

Passo 5

Agora inverto a transformada de Laplace. Pela fórmula conhecida,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{at}.
Aqui a=\tfrac{1}{2}. Logo
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-\tfrac{1}{2}}\right\}(t)=e^{\tfrac{1}{2}t}.

Passo 6

Faço uma verificação rápida (é sempre bom checar para ganhar confiança). Se y(t)=e^{t/2}, então
y(0)=e^{0}=1,\qquad y'(t)=\tfrac{1}{2}e^{t/2}\Rightarrow y'(0)=\tfrac{1}{2},
ou seja, as condições iniciais batem. Substituindo na equação:
y''-2y'+\tfrac{3}{4}y=\left(\tfrac{1}{4}e^{t/2}\right)-2\left(\tfrac{1}{2}e^{t/2}\right)+\tfrac{3}{4}e^{t/2}=0,
pois \tfrac{1}{4}-1+\tfrac{3}{4}=0. Portanto a função encontrada satisfaz tanto a EDO quanto as condições iniciais.

Resposta

y(t)=e^{\tfrac{1}{2}t}

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