05-(1,0pt) Sendo f(x)=\ln \left(x^{3}+e^{4 t}\right), calcule f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função \;f(x)=\ln\!\bigl(x^{3}+e^{4t}\bigr)\; e pede que se calcule f^{\prime}(x). Informações relevantes que aparecem no enunciado:
  • A variável independente em f é x.
  • Aparece uma expressão e^{4t} com a letra t; aqui t deve ser tratada como uma constante em relação a x (não foi pedida derivação em relação a t).
  • O que se quer é a derivada de f em relação a x, ou seja f^{\prime}(x)=\dfrac{d}{dx}\ln\!\bigl(x^{3}+e^{4t}\bigr).

Passo 2

Lembrete da regra que vamos usar: se u(x) é uma função diferenciável e f(x)=\ln\!\bigl(u(x)\bigr), então pela regra da cadeia vale
\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando devagar: a função \ln é a composição de uma função externa \ln(\cdot) com uma função interna u(x). A derivada da parte externa \ln em um ponto u é 1/u; pela regra da cadeia multiplica-se por u'(x), que é a derivada da parte interna. Aqui u(x) representa qualquer expressão interna da qual estamos tirando o logaritmo.

Passo 3

Identificamos a função interna para o nosso caso:
u(x)=x^{3}+e^{4t}.
Agora precisamos calcular u'(x), a derivada de u em relação a x. Essa derivada se obtém termo a termo:
  • A derivada de x^{3} em relação a x é \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2} (regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
  • A derivada de e^{4t} em relação a x é zero, porque e^{4t} não depende de x (tratamos t como constante); assim \dfrac{d}{dx}e^{4t}=0.
Portanto
u'(x)=3x^{2}+0=3x^{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da derivada do logaritmo dada no Passo 2 com u(x)=x^{3}+e^{4t} e u'(x)=3x^{2}, obtemos
f^{\prime}(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{3x^{2}}{x^{3}+e^{4t}}.
Explicando de forma concreta: primeiro derivatei o interior (dando 3x^{2}), depois dividi pelo próprio interior (que é x^{3}+e^{4t}). Isso é exatamente a regra da cadeia para \ln.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar: se a função fosse \ln\!\bigl(x^{3}+5\bigr), a derivada seguiria o mesmo raciocínio e seria \dfrac{3x^{2}}{x^{3}+5}. Aqui o 5 é análogo ao e^{4t} do enunciado — uma constante em relação a x.

Passo 6

Resumo e dica para prova: ao ver \ln(\text{algo}), pense automaticamente em \dfrac{(\text{derivada do algo})}{\text{algo}}. Se dentro do “algo” aparecer outra variável que não seja a variável de derivação, trate-a como constante (a menos que o enunciado peça outra coisa).

Resposta

\displaystyle \frac{3x^{2}}{x^{3}+e^{4t}}

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