05-(1,0pt) Sendo
, calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que se calcule
. Informações relevantes que aparecem no enunciado:
- A variável independente em
é . - Aparece uma expressão
com a letra ; aqui deve ser tratada como uma constante em relação a (não foi pedida derivação em relação a ). - O que se quer é a derivada de
em relação a , ou seja .
Passo 2
Lembrete da regra que vamos usar: se
é uma função diferenciável e
, então pela regra da cadeia vale
Explicando devagar: a função
é a composição de uma função externa
com uma função interna
. A derivada da parte externa
em um ponto
é
; pela regra da cadeia multiplica-se por
, que é a derivada da parte interna. Aqui
representa qualquer expressão interna da qual estamos tirando o logaritmo.
Passo 3
Identificamos a função interna para o nosso caso:
Agora precisamos calcular
, a derivada de
em relação a
. Essa derivada se obtém termo a termo:
- A derivada de
em relação a é (regra da potência: ). - A derivada de
em relação a é zero, porque não depende de (tratamos como constante); assim .
Portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula da derivada do logaritmo dada no Passo 2 com
e
, obtemos
Explicando de forma concreta: primeiro derivatei o interior (dando
), depois dividi pelo próprio interior (que é
). Isso é exatamente a regra da cadeia para
.
Passo 5
Exemplo rápido para fixar: se a função fosse
, a derivada seguiria o mesmo raciocínio e seria
. Aqui o
é análogo ao
do enunciado — uma constante em relação a
.
Passo 6
Resumo e dica para prova: ao ver
, pense automaticamente em
. Se dentro do “algo” aparecer outra variável que não seja a variável de derivação, trate-a como constante (a menos que o enunciado peça outra coisa).