Utilizar o método da separação das variáveis para encontrar soluções particulares em forma de produto, boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), para as EDP apresentadas, considerando-se para a constante de separação três casos possíveis: Caso I, constante = \lambda^{2}>0; Caso II, constante =0; Caso III, constante =-\lambda^{2}<0. Após determinar a solução, fazer a verificação.
u_{x x}+u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace em duas variáveis
u_{xx}+u_{yy}=0
por separação de variáveis, buscando soluções da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Vamos introduzir uma constante de separação C tal que
\frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=C,
e examinar três casos:
Caso I: C=\lambda^{2}>0,
Caso II: C=0,
Caso III: C=-\lambda^{2}<0.

Passo 2

Substituindo u=XY em u_{xx}+u_{yy}=0 obtemos
X''(x)\,Y(y)+X(x)\,Y''(y)=0
\Longrightarrow \frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Como o primeiro termo depende só de x e o segundo só de y, ambos devem ser constantes opostas. Definimos
\frac{X''}{X}=C, \quad \frac{Y''}{Y}=-C.
Agora tratamos cada caso para C.

Passo 3

Caso I: C=\lambda^{2}>0.
Então
X''-\lambda^{2}X=0, \quad Y''+\lambda^{2}Y=0.
As soluções gerais são
X(x)=A\,e^{\lambda x}+B\,e^{-\lambda x},
Y(y)=C_{1}\cos(\lambda y)+D_{1}\sin(\lambda y).
Logo uma solução produto é
u(x,y)=\bigl(A\,e^{\lambda x}+B\,e^{-\lambda x}\bigr)\bigl(C_{1}\cos(\lambda y)+D_{1}\sin(\lambda y)\bigr).
Verificação rápida:
u_{xx}=X''Y=\lambda^{2}XY, \quad u_{yy}=X\,Y''=-\lambda^{2}XY,
logo u_{xx}+u_{yy}=0.

Passo 4

Caso II: C=0.
Então
X''=0, \quad Y''=0.
As soluções são
X(x)=A\,x+B, \quad Y(y)=C_{1}\,y+D_{1}.
Assim
u(x,y)=(A\,x+B)(C_{1}\,y+D_{1}).
Verificação: u_{xx}=0 e u_{yy}=0, logo u_{xx}+u_{yy}=0.

Passo 5

Caso III: C=-\lambda^{2}<0.
Então
X''+\lambda^{2}X=0, \quad Y''-\lambda^{2}Y=0.
As soluções gerais são
X(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x),
Y(y)=C_{1}\,e^{\lambda y}+D_{1}\,e^{-\lambda y}.
Uma solução produto é
u(x,y)=\bigl(A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)\bigr)\bigl(C_{1}\,e^{\lambda y}+D_{1}\,e^{-\lambda y}\bigr).
Verificação:
u_{xx}=-\lambda^{2}XY, \quad u_{yy}=+\lambda^{2}XY,
logo u_{xx}+u_{yy}=0.

Resposta

As famílias de soluções particulares em forma de produto são:
Caso I (C=\lambda^{2}>0):
u(x,y)=\bigl(A\,e^{\lambda x}+B\,e^{-\lambda x}\bigr)\bigl(C_{1}\cos(\lambda y)+D_{1}\sin(\lambda y)\bigr).
Caso II (C=0):
u(x,y)=(A\,x+B)(C_{1}\,y+D_{1}).
Caso III (C=-\lambda^{2}<0):
u(x,y)=\bigl(A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)\bigr)\bigl(C_{1}\,e^{\lambda y}+D_{1}\,e^{-\lambda y}\bigr).

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