Utilizar o método da separação das variáveis para encontrar soluções particulares em forma de produto,
, para as EDP apresentadas, considerando-se para a constante de separação três casos possíveis: Caso I, constante =
; Caso II, constante
; Caso III, constante
. Após determinar a solução, fazer a verificação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace em duas variáveis
por separação de variáveis, buscando soluções da forma
Vamos introduzir uma constante de separação
tal que
e examinar três casos:
Caso I: ,
Caso II: ,
Caso III: .
Caso I:
Caso II:
Caso III:
Passo 2
Substituindo
em
obtemos
Como o primeiro termo depende só de
e o segundo só de
, ambos devem ser constantes opostas. Definimos
Agora tratamos cada caso para
.
Passo 3
Caso I:
.
Então
Então
As soluções gerais são
Logo uma solução produto é
Verificação rápida:
logo
.
Passo 4
Caso II:
.
Então
Então
As soluções são
Assim
Verificação:
e
, logo
.
Passo 5
Caso III:
.
Então
Então
As soluções gerais são
Uma solução produto é
Verificação:
logo
.
Resposta
As famílias de soluções particulares em forma de produto são:
Caso I
:
Caso II
:
Caso III
: