Utilizar propriedades operacionais da transformada de Laplace (como translação no eixo s e no eixo t ) para encontrar mathcal{L}\left\{f(t)\right\} ou mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}.
mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s-1}{(s-1)^{2}+9}\right\}

Passo 1

O enunciado pede encontrar \mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{s-1}{(s-1)^{2}+9}\bigr\} usando propriedades operacionais da transformada de Laplace, em especial a translação no eixo s.

Passo 2

Lembramos duas propriedades fundamentais:
\mathcal{L}\{\cos(bt)\} = \frac{s}{s^{2}+b^{2}}
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\} = G(s-a)\quad\text{se}\;\mathcal{L}\{g(t)\}=G(s)

Passo 3

Note que \displaystyle \frac{s-1}{(s-1)^{2}+9}
é exatamente da forma G(s-1) com
G(s) = \frac{s}{s^{2}+9}
e aqui b^{2}=9\implies b=3.
Pela propriedade de translação no eixo s, a função cujo Laplace é G(s-1) é e^{1\cdot t}g(t), ou seja e^{t}\cos(3t).

Resposta

e^{t}\cos(3t)

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