Utilizar propriedades operacionais da transformada de Laplace (como translação no eixo s e no eixo t ) para encontrar mathcal{L}\left\{f(t)\right\} ou mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}.
mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-4)^{2}}\right\}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-4)^{2}}\Bigr\}.
O conteúdo envolve a propriedade de deslocamento no eixo s.

Passo 2

Lembrando a transformada de Laplace básica de t:
\mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^{2}}.

Passo 3

A propriedade de deslocamento em s afirma que, para uma função f(t) com transformada F(s), vale
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a).
Invertendo, temos
\mathcal{L}^{-1}\{F(s - a)\} = e^{at}\,f(t).

Passo 4

No nosso caso, F(s)=1/s^{2} e a=4. Logo, aplicando a inversa do deslocamento, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-4)^{2}}\Bigr\} = e^{4t}\,t.

Resposta

t\,e^{4t}.

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