Utilizar propriedades operacionais da transformada de Laplace (como translação no eixo s e no eixo t ) para encontrar mathcal{L}\left\{f(t)\right\} ou mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}.
mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-2)^{2}+16}\right\}

Passo 1

Beleza, o enunciado pede que a gente encontre \mathcal{L}^{-1}\big\{\tfrac{1}{(s-2)^{2}+16}\big\}. O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de translação no eixo s da transformada de Laplace.

Passo 2

A gente já conhece a transformada padrão
\mathcal{L}\{\sin(4t)\} = \frac{4}{s^{2}+16}.
Então, sem translação, teríamos
\mathcal{L}^{-1}\!\Big\{\frac{1}{s^{2}+16}\Big\} = \frac{1}{4}\,\sin(4t).

Passo 3

Agora aplicamos o teorema de translação no eixo s: se \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t), então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\} = e^{a t}\,f(t).
No nosso caso F(s)=\tfrac{1}{s^{2}+16} e a=2. Logo
\mathcal{L}^{-1}\!\Big\{\frac{1}{(s-2)^{2}+16}\Big\} = e^{2t}\,\frac{1}{4}\sin(4t).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\,e^{2t}\sin(4t)

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