Utilizar propriedades operacionais da transformada de Laplace (como translação no eixo s e no eixo t ) para encontrar mathcal{L}\left\{f(t)\right\} ou mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}.
mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{(s+1)^{2}+9}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{4}{(s+1)^{2}+9}
usando propriedades operacionais da transformada de Laplace, em particular a translação no eixo s. Vamos precisar também conhecer a transformada de Laplace de \sin(bt).

Passo 2

Lembremo-nos da propriedade de translação em s: se
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s),
então
\mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}(s)=F(s+a),
ou equivalentemente
\mathcal{L}^{-1}\{F(s+a)\}(t)=e^{-a t}f(t).
Aqui vemos que F(s) é da forma F_1(s+1) com
F_1(s)=\frac{4}{s^2+9}.

Passo 3

Precisamos então achar f_1(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F_1(s)\}(t). Note que a transformada de Laplace de \sin(bt) é
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{s^2+b^2}.
No nosso caso b=3, mas o numerador de F_1(s) é 4 em vez de 3. Escrevemos
F_1(s)=\frac{4}{s^2+3^2} =\frac{4}{3}\,\frac{3}{s^2+3^2} =\frac{4}{3}\,\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s).
Logo
f_1(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F_1(s)\}(t) =\frac{4}{3}\,\sin(3t).

Passo 4

Agora voltamos à translação em s. Como
F(s)=F_1(s+1),
temos
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) =e^{-1\cdot t}\,f_1(t) =e^{-t}\,\frac{4}{3}\sin(3t).

Resposta

\boxed{f(t)=\frac{4}{3}\,e^{-t}\sin(3t).}

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