Utilize a análise dimensional para verificar se a equação de Torricelli, v^{2}=v_{0}^{2}+2 a \Delta x, é dimensionalmente consistente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar por análise dimensional se a equação de Torricelli
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x
é dimensionalmente consistente. Informações/quantidades dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • v: velocidade final.
  • v_{0}: velocidade inicial.
  • a: aceleração (assumida constante na fórmula).
  • \Delta x: deslocamento (variação de posição).
  • O número 2 é um fator adimensional (sem dimensão).

Passo 2

O que significa “dimensionalmente consistente”?
  • Uma equação é dimensionalmente consistente quando todas as parcelas que são somadas (ou comparadas) têm a mesma dimensão física.
  • Notação: para indicar a dimensão de uma grandeza usa-se colchetes; por exemplo [v] é a dimensão de v.
  • Usaremos as dimensões base: comprimento \,L, tempo \,T e massa \,M (quando necessário). Regras úteis:
    • Produto de grandezas: [AB]=[A]\,[B].
    • Potência: [A^{n}]=[A]^{n}.
    • Quantidades adimensionais (como números puros) não alteram a dimensão.

Passo 3

Determinar a dimensão de cada variável (explicando por quê):
  • Velocidade v: é distância por tempo, logo
[v]=L\,T^{-1}.
  • Velocidade inicial v_{0}: mesma natureza de v, então
[v_{0}]=L\,T^{-1}.
  • Aceleração a: é variação da velocidade por tempo, ou velocidade dividido por tempo, então
[a]=[v]\,T^{-1}=(L\,T^{-1})\,T^{-1}=L\,T^{-2}.
  • Deslocamento \Delta x: é uma distância, logo
[\Delta x]=L.

Passo 4

Dimensão do lado esquerdo da equação: \,v^{2}.
Aplicando regra de potência:
[v^{2}]=[v]^{2}=(L\,T^{-1})^{2}=L^{2}\,T^{-2}.
Isso nos dá a dimensão alvo que as parcelas do lado direito devem ter para a soma ser válida.

Passo 5

Dimensão das parcelas do lado direito:
  • Para v_{0}^{2}:
[v_{0}^{2}]=[v_{0}]^{2}=(L\,T^{-1})^{2}=L^{2}\,T^{-2}.
  • Para 2a\Delta x: o 2 é adimensional, então
[2a\Delta x]=[a][\Delta x]=(L\,T^{-2})(L)=L^{2}\,T^{-2}.
Detalhe: multiplicam-se as dimensões de a e \Delta x porque é um produto.

Passo 6

Comparação final:
  • Lado esquerdo: [v^{2}]=L^{2}\,T^{-2}.
  • Parcelas do lado direito: [v_{0}^{2}]=L^{2}\,T^{-2} e [2a\Delta x]=L^{2}\,T^{-2}.
Como todas as parcelas têm exatamente a mesma dimensão \,L^{2}T^{-2}, a soma é permitida e a equação é dimensionalmente consistente.

Resposta

Sim. A equação é dimensionalmente consistente, pois todos os termos têm dimensão \,L^{2}T^{-2}.

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