Utilize os axiomas do espaço vetorial
para provar que, se
e
então
parcelas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar os axiomas de um espaço vetorial para provar que, se você tem um vetor
no espaço vetorial
e um número natural
, então multiplicar
por
é o mesmo que somar
consigo mesmo
vezes. Ou seja,
(com
parcelas). Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas que definem um espaço vetorial, especialmente aqueles relacionados à adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar um vetor por um número natural. No contexto dos espaços vetoriais, multiplicação por escalar é uma operação que pega um número (escalar) e um vetor e retorna outro vetor. Quando o escalar é um número natural
, a ideia é que
represente
somado a si mesmo
vezes.
Passo 3
Vamos começar verificando o caso mais simples, onde
. Segundo os axiomas dos espaços vetoriais, multiplicar um vetor por 1 deve retornar o próprio vetor. Ou seja:
Isso já está no acordo com a nossa afirmação, pois somar
uma vez é exatamente
.
Passo 4
Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para algum número natural
. Ou seja, suponha que:
Esse é o nosso passo de indução. Vamos usar esse suposto para provar que a afirmação também vale para
.
Passo 5
Consideremos
. Pela definição de multiplicação por escalar, podemos escrever:
Aqui, usamos o axioma distributivo, que nos permite distribuir a multiplicação sobre a adição.
Passo 6
Agora, substituímos
pela nossa hipótese de indução:
Isso resulta em
somado consigo mesmo
vezes, que é exatamente o que queríamos provar.
Passo 7
Concluímos, então, por indução matemática, que para todo número natural
, temos:
Resposta
Portanto, usando os axiomas dos espaços vetoriais e a indução matemática, provamos que para todo
e
, vale que: