Utilize a condição dada e se baseie nas propriedades para obter os determinantes a seguir:
Sendo \left|\begin{array}{ll}m & n \\\ p & q\end{array}\right|=k, calcule \left|\begin{array}{cc}2 m & 2 p \\\\ -3 n & -3 q\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação (peguei exatamente do enunciado):
  • Foi dado que \left|\begin{array}{ll} m & n\\[4pt] p & q \end{array}\right| = k.
  • Pede-se para calcular o determinante \left|\begin{array}{cc} 2m & 2p\\[4pt] -3n & -3q \end{array}\right|.]

Passo 2

Vou organizar as matrizes envolvidas para visualizar uma relação entre elas. Defino a matriz A e a matriz diagonal D e escrevo a matriz alvo B:
A=\begin{pmatrix}m & n\\[4pt] p & q\end{pmatrix}, \qquad A^{T}=\begin{pmatrix}m & p\\[4pt] n & q\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}.
Agora verifico que multiplicando D por A^{T} obtenho exatamente a matriz cujo determinante é pedido:
D\,A^{T} = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}m & p\\[4pt] n & q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2m & 2p\\[4pt] -3n & -3q\end{pmatrix}.
Portanto a matriz cujo determinante queremos é B = D\,A^{T}.]

Passo 3

Vou usar propriedades dos determinantes. A primeira propriedade que uso é que o determinante de um produto é o produto dos determinantes:
\det(D\,A^{T})=\det(D)\,\det(A^{T}).
Outra propriedade útil é que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original:
\det(A^{T})=\det(A).
Essas duas propriedades são padrões de determinantes e valem para matrizes quadradas (aqui são 2\times2).

Passo 4

Calculo o determinante de D. Como D é diagonal, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
\det(D)=2\cdot(-3)=-6.

Passo 5

Juntando as peças: usando \det(D\,A^{T})=\det(D)\,\det(A^{T}) e \det(A^{T})=\det(A), obtenho
\det\begin{pmatrix}2m & 2p\\[4pt]-3n & -3q\end{pmatrix} = \det(D\,A^{T}) = \det(D)\,\det(A^{T}) = (-6)\,\det(A).
E como \det(A) é justamente o determinante dado no enunciado, isto fornece a relação buscada.]

Passo 6

Comentário alternativo curto (opcional, para fixar a ideia): outra maneira de ver é primeiro transpor A (não muda o determinante) e depois multiplicar a primeira linha por 2 (multiplica o determinante por 2) e a segunda linha por -3 (multiplica por -3). O fator total que multiplica o determinante é 2\cdot(-3)=-6. Chega-se ao mesmo resultado.

Resposta

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