Utilize a condição dada e se baseie nas propriedades para obter os determinantes a seguir:
Sendo \left|\begin{array}{ll}m & n \\\ p & q\end{array}\right|=k, calcule \left|\begin{array}{cc}2 m & 2 p \\\\ -3 n & -3 q\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação (peguei exatamente do enunciado):
Foi dado que \left|\begin{array}{ll} m & n\\[4pt] p & q \end{array}\right| = k.
Pede-se para calcular o determinante \left|\begin{array}{cc} 2m & 2p\\[4pt] -3n & -3q \end{array}\right|.]
Passo 2
Vou organizar as matrizes envolvidas para visualizar uma relação entre elas. Defino a matriz A e a matriz diagonal D e escrevo a matriz alvo B:
A=\begin{pmatrix}m & n\\[4pt] p & q\end{pmatrix}, \qquad A^{T}=\begin{pmatrix}m & p\\[4pt] n & q\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}.
Agora verifico que multiplicando D por A^{T} obtenho exatamente a matriz cujo determinante é pedido:
E como \det(A) é justamente o determinante dado no enunciado, isto fornece a relação buscada.]
Passo 6
Comentário alternativo curto (opcional, para fixar a ideia): outra maneira de ver é primeiro transpor A (não muda o determinante) e depois multiplicar a primeira linha por 2 (multiplica o determinante por 2) e a segunda linha por -3 (multiplica por -3). O fator total que multiplica o determinante é 2\cdot(-3)=-6. Chega-se ao mesmo resultado.