Utilize a condição dada e se baseie nas propriedades para obter os determinantes a seguir:
Sendo \left|\begin{array}{lll}x & y & 1 \\\ a & b & 1 \\\ c & d & 1\end{array}\right|=d, calcular: \left|\begin{array}{lll}x & 1 & y \\\ c & 1 & d \\\ a & 1 & b\end{array}\right|.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação (peguei todos os números/variáveis do enunciado):
\left|\begin{array}{lll} x & y & 1 \\\ a & b & 1 \\\ c & d & 1 \end{array}\right| = d.
Pede-se calcular o valor do determinante
\left|\begin{array}{lll} x & 1 & y \\\ c & 1 & d \\\ a & 1 & b \end{array}\right|.
Observação: o símbolo d aparece no enunciado tanto como o valor do determinante dado quanto como entrada da matriz original (posição (3,2)). Vou tratar d como o escalar fornecido igual ao determinante da primeira matriz.
Passo 2
Relembrando uma propriedade chave de determinantes (explicação didática):
Trocar duas linhas quaisquer de uma matriz altera o sinal do determinante (multiplica por -1).
Por exemplo, para uma matriz 2\times2,
\left|\begin{array}{cc} p & q\\\ r & s \end{array}\right| = ps-qr,
e se trocarmos as linhas:
\left|\begin{array}{cc} r & s\\\ p & q \end{array}\right| = rq-sp = -(ps-qr).
A mesma propriedade vale para matrizes 3\times3 e em geral: cada troca de duas linhas inverte o sinal do determinante.
Passo 3
Outra propriedade relacionada:
Trocar duas colunas também multiplica o determinante por -1.
Isto pode ser entendido porque o determinante da transposta é igual ao determinante original, \det(A^T)=\det(A), e trocar colunas em A equivale a trocar linhas em A^T; logo o efeito sobre o sinal é o mesmo.
Passo 4
Agora vou relacionar a matriz pedida com a matriz dada por operações simples de troca de linhas e colunas.
Chamo a matriz dada de M:
M=\begin{pmatrix} x & y & 1\\\ a & b & 1\\\ c & d & 1 \end{pmatrix}, \qquad \det(M)=d.
A matriz que queremos calcular chamo de N:
N=\begin{pmatrix} x & 1 & y\\\ c & 1 & d\\\ a & 1 & b \end{pmatrix}.
Vou obter N a partir de M por duas operações fáceis:
Trocar as linhas 2 e 3 de M. Isso dá a matriz
M'=\begin{pmatrix} x & y & 1\\\ c & d & 1\\\ a & b & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida trocar as colunas 2 e 3 de M'. Isso dá exatamente N:
N=\begin{pmatrix} x & 1 & y\\\ c & 1 & d\\\ a & 1 & b \end{pmatrix}.
Portanto N é obtida de M por uma troca de linhas (R2\leftrightarrowR3) seguida de uma troca de colunas (C2\leftrightarrowC3).
Passo 5
Agora aplico o efeito dessas operações sobre o determinante:
A troca das linhas 2 e 3 transforma \det(M) em -\det(M).
A troca das colunas 2 e 3 transforma o determinante resultante em -vezes esse valor.
Assim o fator total é (-1)\cdot(-1)=+1. Em símbolos,