Utilize coordenadas esféricas. Calcule 
 , onde 
  é a bola com centro na origem e raio 5 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral tripla 
 , onde 
  é uma bola com centro na origem e raio 5. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a conta. Para isso, precisamos lembrar como transformar coordenadas cartesianas para esféricas e aplicar a fórmula da integral tripla nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das relações entre coordenadas cartesianas 
  e coordenadas esféricas 
 :
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão 
  em termos de coordenadas esféricas. Substituindo as equações acima, temos:
\Como 
 , simplificamos para:
Passo 4
Agora que temos 
 , substituímos na integral original:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Como 
  é uma bola de raio 5:
- 
varia de 0 a 5  - 
varia de 0 a  - 
varia de 0 a  
Assim, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a 
 :
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a 
 :
Passo 8
Por fim, integramos em relação a 
 :
Resposta
Multiplicando todos os resultados:
Então, o valor da integral é 
 .