Utilize coordenadas polares para calcular
\int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{-a}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}(x^{2}+y^{2})\,dy\,dx
sobre a região meia-circunferência de raio a acima do eixo x. Vamos usar coordenadas polares para simplificar, pois o integrando e a região são circulares.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta variando de 0 a \pi para cobrir toda a meia-circunferência acima do eixo x. Logo a região do integral é
0 \le r \le a,\quad 0 \le \theta \le \pi.

Passo 3

O integrando e o elemento de área em polares são
x^{2}+y^{2} = r^{2}, \qquad dA = r\,dr\,d\theta.
Portanto a integral vira
\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{a}r^{2}\;(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a}r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral no raio:
\int_{0}^{a}r^{3}\,dr =\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{a} =\frac{a^{4}}{4}.

Passo 5

Agora integrar em \theta:
\int_{0}^{\pi}\frac{a^{4}}{4}\,d\theta =\frac{a^{4}}{4}\,\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{a^{4}}{4}\,\pi =\frac{\pi\,a^{4}}{4}.

Resposta

\frac{\pi\,a^{4}}{4}.

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