Utilize coordenadas polares para calcular
\mathrm{I}=\iint_{\mathrm{R}} e^{x^{2}+y^{2}} d x d y
, onde R a região do plano-xy delimitada por
x^{2}+y^{2}=4, x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
I = \iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
em que R é o anel limitado pelas circunferências x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9.
Conteúdo necessário: mudança para coordenadas polares e uso do jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta\in[0,2\pi]. O elemento de área vira
dx\,dy = r\,dr\,d\theta
e a função e^{x^{2}+y^{2}} fica e^{r^{2}}. Logo a integral fica
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{r=2}^{3} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Podemos separar o integral em \theta e r:
I = \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\,\Bigl(\int_{2}^{3} e^{r^{2}}\,r\,dr\Bigr) = 2\pi \int_{2}^{3} e^{r^{2}}\,r\,dr.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int_{2}^{3} e^{r^{2}}\,r\,dr, usamos a substituição
u = r^{2}\quad\Longrightarrow\quad du = 2r\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du.
Assim
\int_{2}^{3} e^{r^{2}}\,r\,dr = \int_{u=4}^{9} e^{u}\,\tfrac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{4}^{9} = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr).

Passo 5

Substituindo de volta em I:
I = 2\pi \times \tfrac{1}{2}\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr) = \pi\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr).

Resposta

\pi\,(e^{9}-e^{4})

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