Utilize coordenadas polares para determinar o limite, isto é, considere a parametrização \gamma_{\theta}(r)=(r \cos \theta, r \sin \theta). Note que se ( r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ) com r \geq 0, tem-se que r \rightarrow 0^{+}quando (x, y) \rightarrow(0,0). \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
usando coordenadas polares. O conteúdo da matéria é a mudança para variáveis polares e, em seguida, analisar o comportamento da expressão quando o raio r tende a zero.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta\in\mathbb{R}. Quando (x,y)\to(0,0), temos r\to0^+, independentemente de \theta.