Utilize coordenadas polares para determinar o limite, isto é, considere a parametrização \gamma_{\theta}(r)=(r \cos \theta, r \sin \theta). Note que se ( r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ) com r \geq 0, tem-se que r \rightarrow 0^{+}quando (x, y) \rightarrow(0,0).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
usando coordenadas polares. O conteúdo da matéria é a mudança para variáveis polares e, em seguida, analisar o comportamento da expressão quando o raio r tende a zero.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta\in\mathbb{R}. Quando (x,y)\to(0,0), temos r\to0^+, independentemente de \theta.

Passo 3

Substituindo na função, vem
\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}}{r^{2}} = \frac{r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta}{r^{2}} = r\cos\theta\,\sin^{2}\theta.

Passo 4

Note que \bigl|\cos\theta\,\sin^{2}\theta\bigr|\le1. Logo
\bigl|r\cos\theta\,\sin^{2}\theta\bigr|\le r,
e como r\to0^+ temos r\cos\theta\,\sin^{2}\theta\to0, sem depender de \theta. Portanto o limite existe e é zero.

Resposta

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