Utilize coordenadas polares para determinar o limite, isto é, considere a parametrização \gamma_{\theta}(r)=(r \cos \theta, r \sin \theta). Note que se ( r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ) com r \geq 0, tem-se que r \rightarrow 0^{+}quando (x, y) \rightarrow(0,0).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
usando coordenadas polares. O conteúdo da matéria é mudança de variável para polares em limites de funções de duas variáveis, aproveitando que r\to0^+ equivale a (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Fazemos a parametrização em coordenadas polares
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta livre. Nesse caso (x,y)\to(0,0) se e somente se r\to0^+.

Passo 3

Substituímos no numerador e no denominador:
x^{3}-y^{3} = r^{3}\bigl(\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta\bigr), \qquad x^{2}+y^{2} = r^{2}.

Passo 4

A razão torna-se
\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{3}\bigl(\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta\bigr)}{r^{2}} = r\bigl(\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta\bigr).

Passo 5

Como \bigl|\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta\bigr| é limitada (no máximo vale 2), temos
\left|r\bigl(\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta\bigr)\right| \le 2r
e, como r\to0^+, segue que 2r\to0. Pelo critério de comparação, o limite é zero.

Resposta

0

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