Utilize o critério da raiz para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n+2}{n+3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da raiz (root test) na série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3n+2}{n+3}\right)^{n}.
Nesse critério, definimos a_n = \bigl((3n+2)/(n+3)\bigr)^n e calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calculamos a raiz n-ésima de a_n:
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\Bigl(\frac{3n+2}{n+3}\Bigr)^{n}} = \frac{3n+2}{n+3}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{3n+2}{n+3} = \lim_{n\to\infty} \frac{3 + 2/n}{1 + 3/n} = 3.

Passo 4

Como L=3>1, o critério da raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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