Utilize o critério da raiz para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n-2}{5 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n-2}{5n+1}\right)^{n}
usando o critério da raiz. Vamos lembrar que esse critério diz que, se
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert},
então (i) se L<1 a série converge absolutamente; (ii) se L>1 a série diverge; (iii) se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n = \Bigl(\tfrac{n-2}{5n+1}\Bigr)^{n}.
Então
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} = \sqrt[n]{\Bigl\lvert\tfrac{n-2}{5n+1}\Bigr\rvert^{n}} = \Bigl\lvert\tfrac{n-2}{5n+1}\Bigr\rvert.

Passo 3

Calculamos o limite desse valor quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\Bigl\lvert\tfrac{n-2}{5n+1}\Bigr\rvert = \lim_{n\to\infty}\frac{n-2}{5n+1} = \frac{1}{5},
pois os termos de ordem inferior em n não afetam o quociente principal.

Passo 4

Como obtivemos
L = \frac{1}{5} < 1,
o critério da raiz nos garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo, converge).

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