Utilize o critério da raiz para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-3 n}{2 n+1}\right)^{3 n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-3n}{2n+1}\right)^{3n}
usando o critério da raiz (Teste de Cauchy). Para isso, precisamos calcular
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\frac{-3n}{2n+1}\right)^{3n}\right|}
e verificar se L<1, L>1 ou L=1.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n = \left(\frac{-3n}{2n+1}\right)^{3n}.
Logo, seu valor absoluto é
|a_n| = \left(\frac{3n}{2n+1}\right)^{3n}.

Passo 3

Aplicamos a raiz enésima em |a_n|:
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left(\frac{3n}{2n+1}\right)^{3n}} = \left(\frac{3n}{2n+1}\right)^3.

Passo 4

Calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n}{2n+1}\right)^3 = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{2n+1}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}.

Passo 5

Como \frac{27}{8}>1, o critério da raiz diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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