Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n}
e pede para determinar sua convergência usando o critério da razão. Esse critério consiste em calcular
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
e comparar com 1: se L<1, a série convergente absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{n}{4^n}.
Logo,
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{4^{n+1}}}{\frac{n}{4^n}} = \frac{n+1}{4^{n+1}}\cdot\frac{4^n}{n} = \frac{n+1}{4\,n}.

Passo 3

Calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{4\,n} = \frac{1}{4}.
Como L=\tfrac14<1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n} converge.

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